Номер 874, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

874. a) Докажите, что если k — натуральное число, большее 4, то число $k^4 - 4k^3 - 4k^2 + 16k$ делится на 384.

б) Докажите, что если k — натуральное число, большее 2, то число $k^5 - 5k^3 + 4k$ делится на 120.

а)

Рассмотрим выражение $P(k) = k^4 - 4k^3 - 4k^2 + 16k$. Для начала разложим его на множители: $P(k) = k(k^3 - 4k^2 - 4k + 16) = k(k^2(k - 4) - 4(k - 4)) = k(k^2 - 4)(k - 4) = k(k - 2)(k + 2)(k - 4)$. Переставив множители для удобства, получим: $P(k) = (k - 4)(k - 2)k(k + 2)$.

Требуется доказать, что $P(k)$ делится на $384$ для любого натурального числа $k > 4$. Разложим делитель на простые множители: $384 = 128 \times 3 = 2^7 \times 3$.

Проверим утверждение для нескольких значений $k > 4$. Пусть $k = 5$ (нечетное число). $P(5) = (5 - 4)(5 - 2) \cdot 5 \cdot (5 + 2) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Число $105$ не делится на $384$.

Пусть $k = 7$ (нечетное число). $P(7) = (7 - 4)(7 - 2) \cdot 7 \cdot (7 + 2) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$. Число $945$ не делится на $384$.

Из этих примеров видно, что исходное утверждение неверно для всех натуральных $k > 4$. Если $k$ — нечетное число, то все множители $(k-4)$, $(k-2)$, $k$, $(k+2)$ также являются нечетными. Произведение нечетных чисел является нечетным числом и не может делиться на четное число $384$.

Вероятно, в условии задачи есть опечатка, и имелось в виду, что $k$ — четное натуральное число, большее 4. Докажем утверждение для этого случая.

Пусть $k$ — четное натуральное число и $k > 4$. Нам нужно доказать, что $P(k) = (k - 4)(k - 2)k(k + 2)$ делится на $384 = 128 \times 3$. Докажем делимость на 3 и на 128 по отдельности.

Делимость на 3. Рассмотрим три последовательных целых числа: $k-2, k-1, k$. Одно из них обязательно делится на 3. Если $k$ или $k-2$ делится на 3, то и все произведение $P(k)$ делится на 3. Если $k-1$ делится на 3, то и множитель $k-4 = (k-1) - 3$ также делится на 3, а значит и $P(k)$ делится на 3. Таким образом, $P(k)$ всегда делится на 3.

Делимость на 128 ($2^7$). Так как $k$ — четное число, большее 4, мы можем представить его в виде $k = 2m$, где $m$ — натуральное число и $2m > 4$, то есть $m > 2$. Подставим $k = 2m$ в выражение для $P(k)$: $P(2m) = (2m - 4)(2m - 2)(2m)(2m + 2) = 2(m - 2) \cdot 2(m - 1) \cdot 2m \cdot 2(m + 1) = 16 \cdot (m - 2)(m - 1)m(m + 1)$. Выражение $(m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ является произведением четырех последовательных натуральных чисел (поскольку $m > 2$). В произведении четырех последовательных целых чисел всегда есть два четных числа. Одно из этих четных чисел обязательно является кратным 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$. Таким образом, произведение $(m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ делится на 8. Тогда $P(2m) = 16 \cdot (m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ делится на $16 \times 8 = 128$.

Поскольку $P(k)$ делится и на 3, и на 128, а числа 3 и 128 взаимно простые, то $P(k)$ делится на их произведение $3 \times 128 = 384$. Утверждение доказано для случая, когда $k$ — четное натуральное число, большее 4.

Ответ: Утверждение в задаче верно только для четных натуральных чисел $k > 4$. Для нечетных $k$ оно не выполняется, так как выражение принимает нечетные значения, которые не могут делиться на 384.

б)

Рассмотрим выражение $Q(k) = k^5 - 5k^3 + 4k$. Требуется доказать, что если $k$ — натуральное число, большее 2, то $Q(k)$ делится на 120.

Сначала разложим выражение $Q(k)$ на множители: $Q(k) = k(k^4 - 5k^2 + 4)$. Выражение в скобках является биквадратным уравнением относительно $k$. Сделаем замену $x = k^2$: $x^2 - 5x + 4$. Корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = 1, x_2 = 4$. Тогда $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Возвращаясь к замене, получаем: $k^4 - 5k^2 + 4 = (k^2 - 1)(k^2 - 4) = (k - 1)(k + 1)(k - 2)(k + 2)$. Таким образом, исходное выражение равно: $Q(k) = k(k - 1)(k + 1)(k - 2)(k + 2)$. Переставив множители в порядке возрастания, получаем: $Q(k) = (k - 2)(k - 1)k(k + 1)(k + 2)$. Это произведение пяти последовательных целых чисел.

Теперь разложим на простые множители число 120: $120 = 12 \times 10 = (3 \times 4) \times (2 \times 5) = 3 \times 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5$. Чтобы доказать, что $Q(k)$ делится на 120, нам нужно показать, что оно делится на 3, на 5 и на 8.

Рассмотрим произведение пяти последовательных целых чисел $Q(k)$. Условие $k > 2$ гарантирует, что все множители — натуральные числа.

Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел ровно одно делится на 5. Следовательно, их произведение $Q(k)$ делится на 5.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел (а значит и пяти) есть хотя бы одно, которое делится на 3. Следовательно, произведение $Q(k)$ делится на 3.

Делимость на 8: Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Если их три (например, $k-2, k, k+2$ при четном $k$), то одно из них кратно 4, и произведение будет делиться как минимум на $2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$, что кратно 8. Если четных чисел два (например, $k-1, k+1$ при нечетном $k$), то они имеют вид $2m$ и $2m+2=2(m+1)$. Их произведение равно $4m(m+1)$. Так как $m$ и $m+1$ — последовательные числа, одно из них четное, поэтому $m(m+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4m(m+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. В любом случае, произведение $Q(k)$ делится на 8.

Поскольку $Q(k)$ делится на 3, 5 и 8, а эти числа являются взаимно простыми, то $Q(k)$ делится на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.