Номер 876, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

876. а) $ (2\sqrt{38} - \sqrt{57}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + \sqrt{12}; $

б) $ (\sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}; $

в) $ \sqrt{200} - \frac{1}{2}\sqrt{32} + 2\sqrt{72}; $

г) $ \frac{1}{5}\sqrt{300} - \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{75}. $

а) Для решения выражения $(2\sqrt{38} - \sqrt{57}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + \sqrt{12}$ сначала упростим каждый член. Разложим подкоренные выражения на множители: $\sqrt{38} = \sqrt{2 \cdot 19}$, $\sqrt{57} = \sqrt{3 \cdot 19}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Подставим это в исходное выражение: $(2\sqrt{2 \cdot 19} - \sqrt{3 \cdot 19}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + 2\sqrt{3}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{19}$ в скобках: $(\sqrt{19}(2\sqrt{2} - \sqrt{3})) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + 2\sqrt{3}$. Перемножим $\sqrt{19}$ и $\sqrt{19}$, что равно 19: $19(2\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{19} + 2\sqrt{3}$. Сократим 19: $(2\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot 2 + 2\sqrt{3}$. Раскроем скобки: $4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$. Взаимно уничтожим $-2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$, что дает $4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$

б) Рассмотрим выражение $(\sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}$. Упростим корни, разложив подкоренные выражения на множители: $\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$, $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$ и $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Выражение примет вид: $(\sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$. Вынесем $\sqrt{7}$ за скобки: $(\sqrt{7}(\sqrt{2} - 2\sqrt{5})) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$. Произведение $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$, поэтому получаем: $7(\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) \cdot \frac{1}{7} + 2\sqrt{5}$. Сокращаем 7: $\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$. Взаимно уничтожаются $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$, остается $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $\sqrt{200} - \frac{1}{2}\sqrt{32} + 2\sqrt{72}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$. $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $10\sqrt{2} - \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) + 2(6\sqrt{2})$. Выполним умножение: $10\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$. Теперь сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$: $(10 - 2 + 12)\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Ответ: $20\sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\frac{1}{5}\sqrt{300} - \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{75}$. Вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Подставим упрощенные значения в выражение: $\frac{1}{5}(10\sqrt{3}) - \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + 5\sqrt{3}$. Выполним умножение: $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$. Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$: $(2 - 2 + 5)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Ответ: $5\sqrt{3}$