Номер 871, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

871. Найдите два целых числа, зная, что их сумма 168, а наибольший общий делитель 24.

Пусть искомые целые числа — это $a$ и $b$. Согласно условию задачи, мы имеем два положения:

1. Сумма чисел равна 168: $a + b = 168$.

2. Наибольший общий делитель (НОД) этих чисел равен 24: НОД$(a, b) = 24$.

Из второго условия следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Это значит, что их можно представить в виде произведений:

$a = 24 \cdot x$

$b = 24 \cdot y$

где $x$ и $y$ — это целые числа. Для того чтобы НОД чисел $a$ и $b$ был равен именно 24, необходимо, чтобы множители $x$ и $y$ были взаимно простыми, то есть НОД$(x, y) = 1$. В противном случае, если бы НОД$(x, y) = d > 1$, то НОД$(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию.

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в первое уравнение (уравнение суммы):

$24x + 24y = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:

$24(x + y) = 168$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти сумму $x$ и $y$:

$x + y = \frac{168}{24} = 7$

Теперь задача сводится к поиску пар взаимно простых положительных целых чисел ($x$ и $y$), сумма которых равна 7. (Мы ищем положительные числа, так как их сумма положительна, что является стандартным подходом в таких задачах).

Рассмотрим все возможные пары натуральных чисел $x$ и $y$ (предполагая $x < y$, чтобы избежать дублирования пар):

1. Если $x = 1$, то $y = 7 - 1 = 6$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(1, 6) = 1$. Эта пара нам подходит.

2. Если $x = 2$, то $y = 7 - 2 = 5$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(2, 5) = 1$. Эта пара также подходит.

3. Если $x = 3$, то $y = 7 - 3 = 4$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(3, 4) = 1$. И эта пара подходит.

Мы нашли три возможные пары для $(x, y)$. Теперь для каждой из этих пар вычислим искомые числа $a$ и $b$:

Для пары $(x, y) = (1, 6)$:$a = 24 \cdot 1 = 24$$b = 24 \cdot 6 = 144$Получаем числа 24 и 144.

Для пары $(x, y) = (2, 5)$:$a = 24 \cdot 2 = 48$$b = 24 \cdot 5 = 120$Получаем числа 48 и 120.

Для пары $(x, y) = (3, 4)$:$a = 24 \cdot 3 = 72$$b = 24 \cdot 4 = 96$Получаем числа 72 и 96.

Таким образом, существует три пары чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 24 и 144; или 48 и 120; или 72 и 96.