Номер 875, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (875–876):

875.

a) $ (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6}; $

б) $ (\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}. $

Рассмотрим выражение: $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6}$.

Сначала вычислим произведение в скобках. Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки.

$2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{18} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 4 \cdot 3 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 12$.

$-3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -3\sqrt{12} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 6\sqrt{6} = -3 \cdot 2\sqrt{3} + 3 \cdot 2 + 6\sqrt{6} = -6\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{6}$.

$\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{12} - 2\sqrt{18} = 6 - 2\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 12) + (-6\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{3} - 6\sqrt{2})$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (-2\sqrt{6} + 6\sqrt{6}) + (-6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (-12 + 6 + 6) = 0 + 4\sqrt{6} - 8\sqrt{3} + 0 = 4\sqrt{6} - 8\sqrt{3}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(4\sqrt{6} - 8\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6} = (4\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) + (-8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) = 0$.

Ответ: 0.

Рассмотрим выражение: $(\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Тогда первая скобка равна: $2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10} = -\sqrt{2} + \sqrt{10}$.

Выражение принимает вид:

$(-\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Теперь раскроем скобки, перемножив двучлены:

$(-\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = -2 - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{50}$.

Упростим полученные корни: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ и $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, произведение равно: $-2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}$.

Подставим результат обратно в полное выражение:

$(-2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые:

$-2 + (-\sqrt{10} + \sqrt{10}) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) = -2 + 0 + 0 + 0 = -2$.

Ответ: -2.