Номер 881, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

881. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}; $

б) $ \frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}} = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}). $

а)

Для доказательства справедливости равенства $\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ преобразуем его, умножив обе части на знаменатель левой части $\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$. Если равенство верно, то числитель левой части должен быть равен произведению правой части и знаменателя левой части.

Проверим, выполняется ли равенство: $3\sqrt{5} + \sqrt{2} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2})$.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{15} - 3\sqrt{2}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}$

Выполним умножение и упростим:

$= \sqrt{75} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 3 \cdot 2$

$= \sqrt{25 \cdot 3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$

$= 5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$

Полученное выражение $5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$ не равно $3\sqrt{5} + \sqrt{2}$. Следовательно, исходное равенство не является верным. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Равенство не является верным, так как при проверке получается $3\sqrt{5} + \sqrt{2} \neq 5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$.

б)

Для доказательства справедливости равенства $\frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}} = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ докажем, что произведение правой части и знаменателя левой части равно 1.

Пусть $R = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

Умножим $R$ на $(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2})$:

$R \cdot (\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первой пары множителей:

$(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = (\sqrt[8]{3})^2 - (\sqrt[8]{2})^2 = \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2}$

Подставим результат обратно в выражение:

$= (\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

Снова применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Выражение принимает вид:

$= (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

В последний раз применим формулу разности квадратов:

$= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

Мы показали, что $(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = 1$.

Отсюда следует, что $(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.