Номер 863, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

863. Докажите, что если A — любое нечётное число, то число $A^2 - 1$ делится на 8.

Для доказательства утверждения воспользуемся алгебраическими преобразованиями.

Пусть $A$ — любое нечётное число. Выражение, которое нам нужно проанализировать, — это $A^2 - 1$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$A^2 - 1 = (A - 1)(A + 1)$

Поскольку $A$ является нечётным числом, то числа $(A - 1)$ и $(A + 1)$ — это два последовательных чётных числа. Например, если $A=3$, то множители равны 2 и 4. Если $A=7$, то множители равны 6 и 8.

Докажем, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

Любое нечётное число $A$ можно представить в виде $A = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Тогда:

• $A - 1 = (2k + 1) - 1 = 2k$
• $A + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

Их произведение равно:

$(A - 1)(A + 1) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, мы можем записать $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Подставим это в наше выражение:

$A^2 - 1 = 4 \cdot k(k+1) = 4 \cdot (2m) = 8m$

Поскольку $A^2 - 1$ можно представить как $8m$, где $m$ — целое число, это означает, что $A^2 - 1$ всегда делится на 8. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $A^2 - 1$ можно разложить на множители $(A-1)(A+1)$. Поскольку $A$ — нечётное число, $(A-1)$ и $(A+1)$ являются двумя последовательными чётными числами. В паре последовательных чётных чисел одно всегда делится на 4, а другое — на 2. Следовательно, их произведение делится на $4 \times 2 = 8$.