Номер 858, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

858. Задача Архимеда (287–212 гг. до н. э.).

Найдите сумму квадратов первых n натуральных чисел.

Для нахождения суммы квадратов первых n натуральных чисел, обозначим эту сумму как $S_n$:

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$

Рассмотрим известное тождество для куба суммы: $(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$. Из этого тождества следует равенство: $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$.

Запишем это равенство последовательно для всех натуральных чисел $k$ от 1 до $n$:

при $k=1$: $2^3 - 1^3 = 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1$
при $k=2$: $3^3 - 2^3 = 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1$
при $k=3$: $4^3 - 3^3 = 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1$
...
при $k=n$: $(n+1)^3 - n^3 = 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1$

Теперь сложим все $n$ полученных равенств. Сумма выражений в левых частях является телескопической, то есть все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $(2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + ((n+1)^3 - n^3) = (n+1)^3 - 1^3$.

Просуммируем правые части. Сгруппируем слагаемые с квадратами, с первыми степенями и единицы: $(3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot n^2) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \dots + 3 \cdot n) + (1 + 1 + \dots + 1)$ (где 1 повторяется $n$ раз).

Вынесем общие множители за скобки. Первое слагаемое — это утроенная искомая сумма $S_n$. Второе — утроенная сумма первых $n$ натуральных чисел. Третье — просто $n$. $3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + 3(1 + 2 + \dots + n) + n = 3S_n + 3\sum_{k=1}^{n}k + n$.

Сумма первых $n$ натуральных чисел (сумма арифметической прогрессии) вычисляется по формуле: $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это значение в выражение для суммы правых частей: $3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$.

Приравняем сумму левых и правых частей: $(n+1)^3 - 1 = 3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$.

Выразим из этого уравнения $3S_n$: $3S_n = (n+1)^3 - 1 - 3\frac{n(n+1)}{2} - n$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3S_n = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 1 - \frac{3n^2 + 3n}{2} - n$
$3S_n = n^3 + 3n^2 + 2n - \frac{3n^2 + 3n}{2}$
$3S_n = \frac{2(n^3 + 3n^2 + 2n) - (3n^2 + 3n)}{2}$
$3S_n = \frac{2n^3 + 6n^2 + 4n - 3n^2 - 3n}{2}$
$3S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$.

Вынесем общий множитель $n$ в числителе: $3S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2}$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 + 3n + 1$. Для этого найдем корни уравнения $2n^2 + 3n + 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Корни: $n_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$ и $n_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$. Тогда разложение имеет вид: $2n^2 + 3n + 1 = 2(n - (-1))(n - (-1/2)) = 2(n+1)(n+\frac{1}{2}) = (n+1)(2n+1)$.

Подставим полученное разложение обратно в выражение для $3S_n$: $3S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$.

Наконец, чтобы найти $S_n$, разделим обе части на 3: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Это и есть формула для суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел, которую, согласно преданию, вывел Архимед.

Ответ: $S_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.