Номер 857, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

857. Какое число больше:

a) $ \frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1} $ или $ \frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1} $,

б) $ \frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1} $ или $ \frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1} $, где a и n — натуральные числа?

a)

Чтобы сравнить дроби $\frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1}$ и $\frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1}$, мы можем сравнить их произведения «крест-накрест», поскольку знаменатели обеих дробей положительны. Сравним выражения $(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1)$ и $(10^{1987} + 1)^2$.

Раскроем скобки в левой части:
$(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1) = 10^{1986} \cdot 10^{1988} + 10^{1986} + 10^{1988} + 1 = 10^{3974} + 10^{1986} + 10^{1988} + 1$.

Раскроем скобки в правой части:
$(10^{1987} + 1)^2 = (10^{1987})^2 + 2 \cdot 10^{1987} + 1 = 10^{3974} + 2 \cdot 10^{1987} + 1$.

Уберем общие слагаемые $10^{3974}$ и $1$ из обеих частей. Задача сводится к сравнению выражений $10^{1986} + 10^{1988}$ и $2 \cdot 10^{1987}$.

Преобразуем оба выражения, вынеся за скобки общий множитель $10^{1986}$:
$10^{1986} + 10^{1988} = 10^{1986}(1 + 10^2) = 101 \cdot 10^{1986}$.
$2 \cdot 10^{1987} = 10^{1986}(2 \cdot 10) = 20 \cdot 10^{1986}$.

Поскольку $101 > 20$, то $101 \cdot 10^{1986} > 20 \cdot 10^{1986}$. Это означает, что $(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1) > (10^{1987} + 1)^2$, и, следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1} > \frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1}$.

б)

Это задание является обобщением предыдущего. Сравним дроби $\frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1}$ и $\frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1}$, где $a$ и $n$ — натуральные числа. Как и в пункте а), используем метод перекрестного умножения. Сравним $(a^n + 1)(a^{n+2} + 1)$ и $(a^{n+1} + 1)^2$.

Раскроем скобки:
Левая часть: $(a^n + 1)(a^{n+2} + 1) = a^n \cdot a^{n+2} + a^n + a^{n+2} + 1 = a^{2n+2} + a^n + a^{n+2} + 1$.
Правая часть: $(a^{n+1} + 1)^2 = (a^{n+1})^2 + 2a^{n+1} + 1 = a^{2n+2} + 2a^{n+1} + 1$.

Убрав общие слагаемые $a^{2n+2}$ и $1$, получаем задачу сравнения выражений $a^n + a^{n+2}$ и $2a^{n+1}$.

Вынесем общий множитель $a^n$ в левой части и преобразуем правую:
$a^n + a^{n+2} = a^n(1+a^2)$.
$2a^{n+1} = a^n(2a)$.

Поскольку $a^n > 0$ (так как $a$ и $n$ натуральные), знак неравенства зависит от сравнения $1+a^2$ и $2a$. Рассмотрим их разность:
$(1+a^2) - 2a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Так как $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$. Возможны два случая:
1. Если $a > 1$, то $(a-1)^2 > 0$. Отсюда следует, что $1+a^2 > 2a$, и, соответственно, $a^n(1+a^2) > a^n(2a)$. В этом случае первая дробь больше второй.
2. Если $a = 1$, то $(a-1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $1+a^2 = 2a$. В этом случае выражения равны, значит и исходные дроби равны. Действительно, при $a=1$ обе дроби равны $\frac{1+1}{1+1} = 1$.

Ответ: Если $a > 1$, то больше первое число: $\frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1} > \frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1}$. Если $a = 1$, то числа равны.