Номер 860, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

860. Старинная задача (Индия, IV в.). Найдите сумму кубов первых $n$ натуральных чисел.

Задача состоит в том, чтобы найти формулу для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел, то есть для суммы вида $S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$.

Эта сумма вычисляется по формуле, известной как формула Никомаха:$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$Для доказательства этой формулы воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: Проверим справедливость формулы для самого первого натурального числа, $n=1$.
Левая часть равенства: $S_1 = 1^3 = 1$.
Правая часть равенства: $\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), формула верна для $n=1$.

Индукционное предположение: Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=m$, то есть:$$ S_m = 1^3 + 2^3 + \dots + m^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2 $$

Индукционный шаг: Докажем, что если формула верна для $n=m$, то она будет верна и для следующего числа, $n=m+1$. То есть нам нужно доказать, что $S_{m+1} = \left(\frac{(m+1)(m+2)}{2}\right)^2$.
Сумма для $m+1$ членов представляет собой сумму для $m$ членов плюс следующий член $(m+1)^3$:$$ S_{m+1} = S_m + (m+1)^3 $$Используем наше индукционное предположение для $S_m$:$$ S_{m+1} = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2 + (m+1)^3 $$Теперь выполним алгебраические преобразования. Раскроем квадрат и вынесем общий множитель $(m+1)^2$:$$ S_{m+1} = \frac{m^2(m+1)^2}{4} + (m+1)^3 = (m+1)^2 \left( \frac{m^2}{4} + (m+1) \right) $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$$ S_{m+1} = (m+1)^2 \left( \frac{m^2 + 4(m+1)}{4} \right) = (m+1)^2 \left( \frac{m^2 + 4m + 4}{4} \right) $$Заметим, что выражение в числителе $m^2 + 4m + 4$ является полным квадратом двучлена $(m+2)^2$. Подставим его обратно в формулу:$$ S_{m+1} = (m+1)^2 \frac{(m+2)^2}{4} $$Это выражение можно записать в виде квадрата:$$ S_{m+1} = \left(\frac{(m+1)(m+2)}{2}\right)^2 $$Мы получили формулу для $n=m+1$, что и требовалось доказать.

Поскольку все шаги метода математической индукции выполнены (база проверена, индукционный переход доказан), формула верна для любого натурального числа $n$.
Интересный факт: сумма первых $n$ натуральных чисел равна $1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$. Таким образом, сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы этих же чисел.

Ответ: Сумма кубов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.