Номер 854, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

854. Какой цифрой оканчивается сумма $21^4 + 34^4 + 46^4$?

Для того чтобы определить, какой цифрой оканчивается сумма $21^4 + 34^4 + 46^4$, нет необходимости вычислять полные значения слагаемых. Достаточно найти последнюю цифру каждого слагаемого и затем определить последнюю цифру их суммы.

Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Найдем последнюю цифру числа $21^4$.
Число 21 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. ($...1^n = ...1$).
Следовательно, число $21^4$ оканчивается на цифру 1.

2. Найдем последнюю цифру числа $34^4$.
Число 34 оканчивается на 4. Проследим за последними цифрами степеней числа 4:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
Последние цифры степеней четверки циклически повторяются: 4, 6, 4, 6, ... Для четных показателей степени последняя цифра – 6, для нечетных – 4. Поскольку показатель степени в выражении $34^4$ равен 4 (четное число), число $34^4$ оканчивается на цифру 6.

3. Найдем последнюю цифру числа $46^4$.
Число 46 оканчивается на 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. ($...6^n = ...6$).
Следовательно, число $46^4$ оканчивается на цифру 6.

Теперь сложим полученные последние цифры, чтобы найти последнюю цифру искомой суммы:
$1 + 6 + 6 = 13$
Сумма оканчивается на ту же цифру, что и число 13, то есть на 3.

Ответ: 3