Страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

808. Постройте отрицание высказывания:

а) $x = 3$;

б) $x \neq 3$;

в) $x < 2$;

г) $x > 1$.

Отрицанием (инверсией) логического высказывания называется новое высказывание, которое истинно, когда исходное высказывание ложно, и ложно, когда исходное высказывание истинно. Чтобы построить отрицание для математического равенства или неравенства, нужно рассмотреть все случаи, которые не удовлетворяют исходному условию.

а)
Исходное высказывание: $x = 3$.
Это высказывание истинно только в том случае, когда переменная $x$ принимает значение 3.
Отрицанием будет высказывание, которое истинно для всех остальных значений $x$. Это означает, что $x$ не равно 3.
В математической записи это выглядит как $x \neq 3$.
Ответ: $x \neq 3$

б)
Исходное высказывание: $x \neq 3$.
Это высказывание истинно для любого значения $x$, кроме 3.
Отрицанием будет высказывание, которое ложно для любого значения $x$, кроме 3, и истинно только для $x = 3$.
Следовательно, отрицанием является высказывание $x = 3$.
Ответ: $x = 3$

в)
Исходное высказывание: $x < 2$.
Это высказывание истинно для всех чисел, которые строго меньше 2.
Отрицание должно быть истинным для всех чисел, которые не меньше 2. Число "не меньше 2" означает, что оно либо больше 2, либо равно 2.
Это условие записывается как нестрогое неравенство $x \ge 2$.
Ответ: $x \ge 2$

г)
Исходное высказывание: $x > 1$.
Это высказывание истинно для всех чисел, которые строго больше 1.
Отрицание должно быть истинным для всех чисел, которые не больше 1. Число "не больше 1" означает, что оно либо меньше 1, либо равно 1.
Это условие записывается как нестрогое неравенство $x \le 1$.
Ответ: $x \le 1$

Определите, истинно или ложно высказывание (809, 810):

809. a) Если дробь $\frac{m}{n}$ — правильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная;

б) Если дробь $\frac{m}{n}$ — неправильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная.

а)

Чтобы определить истинность этого высказывания, необходимо проанализировать определения правильной дроби. Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Условие гласит, что дробь $\frac{m}{n}$ — правильная. Это означает, что $m < n$ (при условии, что $m$ и $n$ — натуральные числа). Далее утверждается, что из этого следует, что дробь $\frac{n}{m}$ также является правильной. Для этого необходимо, чтобы её числитель $n$ был меньше её знаменателя $m$, то есть $n < m$. Однако условие $m < n$ и заключение $n < m$ являются взаимоисключающими. Если $m$ меньше $n$, то $n$ не может быть меньше $m$. Наоборот, из $m < n$ следует, что $n > m$. Это означает, что если дробь $\frac{m}{n}$ является правильной, то у обратной ей дроби $\frac{n}{m}$ числитель будет больше знаменателя, и, следовательно, она будет неправильной. Например, возьмём правильную дробь $\frac{3}{7}$. Здесь $m=3, n=7$, и $3 < 7$. Обратная дробь $\frac{7}{3}$ является неправильной, так как $7 > 3$. Таким образом, утверждение ложно.

Ответ: ложно.

б)

Рассмотрим высказывание: "Если дробь $\frac{m}{n}$ — неправильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная." Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. То есть, условие, что дробь $\frac{m}{n}$ неправильная, означает, что $m \ge n$. Заключение утверждает, что дробь $\frac{n}{m}$ является правильной. Это означает, что её числитель $n$ должен быть меньше знаменателя $m$, то есть $n < m$. Проверим, всегда ли из условия $m \ge n$ следует заключение $n < m$. Условие $m \ge n$ можно разбить на два случая:
1. $m > n$. В этом случае неравенство $n < m$ верно. Например, если взять неправильную дробь $\frac{8}{5}$ (так как $8 > 5$), то обратная ей дробь $\frac{5}{8}$ будет правильной (так как $5 < 8$). В этом случае утверждение выполняется.
2. $m = n$. В этом случае дробь $\frac{m}{n}$ также является неправильной (например, $\frac{6}{6}$), так как числитель равен знаменателю. Рассмотрим обратную дробь $\frac{n}{m}$. Так как $n=m$, эта дробь также будет иметь вид $\frac{n}{n}$. У этой дроби числитель не меньше знаменателя, а равен ему. Следовательно, по определению, она является неправильной, а не правильной. Поскольку мы нашли случай (когда $m=n$), при котором условие выполняется (дробь $\frac{m}{n}$ неправильная), а заключение нет (дробь $\frac{n}{m}$ тоже неправильная), то всё высказывание в целом является ложным. Для истинности условного утверждения необходимо, чтобы заключение было верным во всех случаях, когда верно условие.

Ответ: ложно.

810. а) $(x \ge 3) \Rightarrow (x \ge 5)$;

б) $(x \ge 5) \Rightarrow (x \ge 3)$;

в) $(x \in N) \Rightarrow (x \in Z)$;

г) $(x \in Z) \Rightarrow (x \in N)$.

а) Высказывание $(x \ge 3) \Rightarrow (x \ge 5)$ утверждает, что если число $x$ больше или равно 3, то оно также больше или равно 5. Это утверждение является ложным. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одно число (контрпример), для которого условие $x \ge 3$ выполняется, а условие $x \ge 5$ — нет. Например, возьмем $x=4$. Для этого числа неравенство $4 \ge 3$ является верным, но неравенство $4 \ge 5$ — ложным. Так как из истинного утверждения следует ложное, всё высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.

б) Высказывание $(x \ge 5) \Rightarrow (x \ge 3)$ утверждает, что если число $x$ больше или равно 5, то оно также больше или равно 3. Это утверждение является истинным. Множество чисел, удовлетворяющих условию $x \ge 5$ (промежуток $[5, +\infty)$), является подмножеством множества чисел, удовлетворяющих условию $x \ge 3$ (промежуток $[3, +\infty)$). Это означает, что любое число, которое больше или равно 5, автоматически будет больше или равно 3. Следовательно, из истинности утверждения $x \ge 5$ всегда следует истинность утверждения $x \ge 3$.
Ответ: высказывание истинно.

в) Высказывание $(x \in N) \Rightarrow (x \in Z)$ утверждает, что если $x$ является натуральным числом, то $x$ является и целым числом. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ по своему определению является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Любой элемент множества $N$ также является элементом множества $Z$. Таким образом, утверждение является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

г) Высказывание $(x \in Z) \Rightarrow (x \in N)$ утверждает, что если $x$ является целым числом, то $x$ является и натуральным числом. Это утверждение ложно. Множество целых чисел $Z$ содержит отрицательные числа и ноль, которые не входят в множество натуральных чисел $N$. Например, возьмем $x = -1$. Число $-1$ является целым ($-1 \in Z$), но не является натуральным ($-1 \notin N$). Другой контрпример: $x=0$. Число $0$ является целым ($0 \in Z$), но не натуральным ($0 \notin N$). Так как можно найти целое число, которое не является натуральным, данное высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.

811. Отношения между различными прямыми $a$, $b$ и $c$ на плоскости записаны в виде высказывания:

а) $(a \parallel c \text{ и } b \parallel c) \Rightarrow (a \parallel b);$

б) $(a \perp c \text{ и } b \perp c) \Rightarrow (a \parallel b);$

в) $(a \parallel c \text{ и } c \perp b) \Rightarrow (a \perp b).$

Сформулируйте соответствующее ему утверждение (теорему) из курса геометрии.

а) Логическое высказывание $(a \parallel c \text{ и } b \parallel c) \Rightarrow (a \parallel b)$ представляет собой символьную запись геометрического утверждения. Расшифруем его: "Если прямая $a$ параллельна ($ \parallel $) прямой $c$ и ($ \text{и} $) прямая $b$ параллельна ($ \parallel $) прямой $c$, то отсюда следует ($ \Rightarrow $), что прямая $a$ параллельна ($ \parallel $) прямой $b$".
Ответ: Если две различные прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

б) Логическое высказывание $(a \perp c \text{ и } b \perp c) \Rightarrow (a \parallel b)$ расшифровывается следующим образом: "Если прямая $a$ перпендикулярна ($ \perp $) прямой $c$ и ($ \text{и} $) прямая $b$ перпендикулярна ($ \perp $) прямой $c$, то отсюда следует ($ \Rightarrow $), что прямая $a$ параллельна ($ \parallel $) прямой $b$".
Ответ: Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

в) Логическое высказывание $(a \parallel c \text{ и } c \perp b) \Rightarrow (a \perp b)$ расшифровывается так: "Если прямая $a$ параллельна ($ \parallel $) прямой $c$ и ($ \text{и} $) прямая $c$ перпендикулярна ($ \perp $) прямой $b$, то отсюда следует ($ \Rightarrow $), что прямая $a$ перпендикулярна ($ \perp $) прямой $b$".
Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой.

812. Пусть $a$, $b$, $c$ — натуральные числа. Определите, истинно или ложно высказывание:

а) ($a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ кратно $c$);

б) ($a$ кратно $c$ и $b$ не кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ не кратно $c$);

в) ($a + b$ кратно $c$) $ \implies $ ($a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c$);

г) ($a$ не кратно $c$ и $b$ не кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ не кратно $c$);

д) ($a$ кратно $c$ или $b$ кратно $c$) $ \implies $ ($ab$ кратно $c$).

а) (a кратно c и b кратно c) ⇒ (a + b кратно c)

Данное высказывание истинно. Это одно из основных свойств делимости.

Доказательство:

Если число $a$ кратно $c$, то по определению существует такое целое число $k_1$, что $a = k_1 \cdot c$.

Аналогично, если число $b$ кратно $c$, то существует такое целое число $k_2$, что $b = k_2 \cdot c$.

Рассмотрим сумму $a + b$:

$a + b = k_1 \cdot c + k_2 \cdot c$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a + b = (k_1 + k_2) \cdot c$

Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $k_3 = k_1 + k_2$ также является целым числом. Таким образом, мы представили сумму $a + b$ в виде произведения целого числа $k_3$ и числа $c$. Это означает, что $a + b$ кратно $c$.

Ответ: Истинно.

б) (a кратно c и b не кратно c) ⇒ (a + b не кратно c)

Данное высказывание истинно.

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что заключение ложно, то есть что сумма $(a + b)$ кратна $c$.

Из условия мы знаем, что $a$ кратно $c$. Это значит, что $a = k_1 \cdot c$ для некоторого целого $k_1$.

Из нашего предположения, $(a + b)$ кратно $c$. Это значит, что $a + b = k_2 \cdot c$ для некоторого целого $k_2$.

Выразим $b$ из второго равенства: $b = (a + b) - a$.

Подставим известные выражения для $a$ и $(a + b)$:

$b = k_2 \cdot c - k_1 \cdot c$

Вынесем $c$ за скобки:

$b = (k_2 - k_1) \cdot c$

Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их разность $k_3 = k_2 - k_1$ также является целым числом. Получается, что $b$ можно представить в виде $b = k_3 \cdot c$, что означает, что $b$ кратно $c$.

Но это противоречит исходному условию, что $b$ не кратно $c$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, сумма $(a + b)$ не может быть кратна $c$.

Ответ: Истинно.

в) (a + b кратно c) ⇒ (a кратно c и b кратно c)

Данное высказывание ложно. Это обратное утверждение к пункту а), и оно не всегда выполняется. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример.

Контрпример:

Пусть $a = 3$, $b = 7$ и $c = 5$.

Проверим условие: $a + b = 3 + 7 = 10$. Число $10$ кратно $5$. Условие $(a + b$ кратно $c)$ выполняется.

Проверим заключение: $a=3$ не кратно $c=5$, и $b=7$ не кратно $c=5$. Заключение $(a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c)$ не выполняется.

Поскольку из истинного условия следует ложное заключение, всё высказывание является ложным.

Ответ: Ложно.

г) (a не кратно c и b не кратно c) ⇒ (a + b не кратно c)

Данное высказывание ложно. Как и в предыдущем пункте, приведем контрпример.

Контрпример:

Можно использовать тот же пример, что и для пункта в). Пусть $a = 3$, $b = 7$ и $c = 5$.

Проверим условие: $a = 3$ не кратно $c = 5$, и $b = 7$ не кратно $c = 5$. Условие $(a$ не кратно $c$ и $b$ не кратно $c)$ выполняется.

Проверим заключение: $a + b = 3 + 7 = 10$. Число $10$ кратно $5$. Таким образом, заключение $(a + b$ не кратно $c)$ является ложным.

Так как из истинного условия следует ложное заключение, всё высказывание является ложным.

Ответ: Ложно.

д) (a кратно c или b кратно c) ⇒ (ab кратно c)

Данное высказывание истинно. Это также одно из основных свойств делимости.

Доказательство:

Условие "или" означает, что достаточно выполнения хотя бы одной из его частей. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a$ кратно $c$.

По определению, существует такое целое число $k$, что $a = k \cdot c$.

Тогда произведение $ab$ равно:

$ab = (k \cdot c) \cdot b = (k \cdot b) \cdot c$

Поскольку $k$ и $b$ — целые (в данном случае натуральные) числа, их произведение $k_1 = k \cdot b$ также является целым числом. Значит, $ab = k_1 \cdot c$, что означает, что произведение $ab$ кратно $c$.

Случай 2: $b$ кратно $c$.

По определению, существует такое целое число $m$, что $b = m \cdot c$.

Тогда произведение $ab$ равно:

$ab = a \cdot (m \cdot c) = (a \cdot m) \cdot c$

Поскольку $a$ и $m$ — целые числа, их произведение $k_2 = a \cdot m$ также является целым числом. Значит, $ab = k_2 \cdot c$, что означает, что произведение $ab$ кратно $c$.

В обоих возможных случаях, вытекающих из условия, заключение оказывается верным. Следовательно, все высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

813. Задача-шутка. В известной басне И. А. Крылова есть знаменитое изречение: «А Васька слушает, да ест». Для высказываний $A = \{\text{Васька слушает}\}$ и $B = \{\text{Васька ест}\}$ постройте составное высказывание:

а) $\underline{A \text{ и } B}$;

б) $\underline{A \text{ или } B}$;

в) $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$;

г) $\underline{A} \text{ и } B$;

д) $A \text{ или } \underline{B}$;

е) $A \Rightarrow B$.

Определите, при каких условиях составное высказывание истинно.

а) $\overline{A \text{ и } B}$
Составное высказывание: «Неверно, что Васька слушает и ест».
Это логическое отрицание конъюнкции $A \land B$, которое обозначается как $\overline{A \land B}$. Согласно закону де Моргана, это эквивалентно дизъюнкции отрицаний: $\overline{A} \lor \overline{B}$ («Васька не слушает или Васька не ест»).
Высказывание истинно, если исходное высказывание «$A \text{ и } B$» ложно. Это происходит, когда хотя бы одно из простых высказываний (A или B) является ложным. То есть, Васька не делает хотя бы что-то одно: или не слушает, или не ест, или не делает ни того, ни другого.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька не слушает, или если Васька не ест (или и то, и другое).

б) $\overline{A \text{ или } B}$
Составное высказывание: «Неверно, что Васька слушает или ест».
Это логическое отрицание дизъюнкции $A \lor B$, которое обозначается как $\overline{A \lor B}$. Согласно закону де Моргана, это эквивалентно конъюнкции отрицаний: $\overline{A} \land \overline{B}$ («Васька не слушает и Васька не ест»).
Высказывание истинно, если исходное высказывание «$A \text{ или } B$» ложно. Это происходит только в одном случае: когда оба простых высказывания A и B ложны.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька одновременно не слушает и не ест.

в) $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$
Составное высказывание: «Васька не слушает и не ест».
Это конъюнкция (логическое «И») двух отрицаний: $\overline{A}$ и $\overline{B}$. Высказывание, обозначаемое как $\overline{A} \land \overline{B}$, истинно только тогда, когда истинны обе его части. То есть, высказывание «Васька не слушает» должно быть истинным, и высказывание «Васька не ест» тоже должно быть истинным.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька не совершает ни одного из этих действий: он и не слушает, и не ест.

г) $A \text{ и } B$
Составное высказывание: «Васька слушает и ест».
Это конъюнкция (логическое «И»), обозначаемая как $A \land B$. Высказывание истинно только в том случае, когда оба простых высказывания (A и B) истинны. Это в точности соответствует смыслу фразы из басни.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька одновременно и слушает, и ест.

д) $A \text{ или } B$
Составное высказывание: «Васька слушает или ест».
Это дизъюнкция (логическое «ИЛИ»), обозначаемая как $A \lor B$. Высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний (A или B), включая случай, когда они оба истинны.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька совершает хотя бы одно из действий: слушает, ест, или делает и то, и другое.

е) $A \Rightarrow B$
Составное высказывание: «Если Васька слушает, то он ест».
Это импликация (логическое следование), обозначаемая как $A \Rightarrow B$. Импликация считается ложной только в одном случае: когда посылка (A) истинна, а следствие (B) ложно. Во всех остальных случаях она истинна.
Таким образом, высказывание будет истинным, если:
1. Васька слушает и ест (A-истина, B-истина).
2. Васька не слушает, но ест (A-ложь, B-истина).
3. Васька не слушает и не ест (A-ложь, B-ложь).
Ответ: Высказывание истинно во всех случаях, кроме одного: когда Васька слушает, но не ест.

814. Пусть даны два высказывания:

$A = \{\text{В огороде бузина}\}$;

$B = \{\text{В Киеве дядька}\}$.

Постройте условное высказывание Если $A$, то $B$. Определите, в каких случаях это высказывание считают истинным, в каких — ложным.

Постройте условное высказывание Если A, то B

Даны два исходных высказывания: $A$ = {В огороде бузина}; $B$ = {В Киеве дядька}.

Условное высказывание, также известное как импликация, строится по схеме «Если $A$, то $B$». Для этого необходимо подставить тексты высказываний $A$ и $B$ в эту конструкцию.

В результате получаем следующее составное высказывание: «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька».

Ответ: «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька».

Определите, в каких случаях это высказывание считают истинным, в каких — ложным

Истинность условного высказывания (импликации) $A \rightarrow B$ в математической логике не зависит от смысловой связи между посылкой $A$ и заключением $B$. Она определяется исключительно их значениями истинности (истинно или ложно).

Правило для импликации следующее:

Условное высказывание $A \rightarrow B$ является ложным только в одном случае: когда посылка $A$ истинна, а заключение $B$ ложно. Во всех остальных случаях оно считается истинным.

Рассмотрим все четыре возможные комбинации для наших высказываний:

1. $A$ — истинно (в огороде действительно есть бузина) и $B$ — истинно (в Киеве действительно есть дядька).
   В этом случае условное высказывание истинно.
2. $A$ — истинно (в огороде есть бузина) и $B$ — ложно (в Киеве нет дядьки).
   В этом случае условное высказывание ложно. Это единственный случай, нарушающий импликацию, так как из истинного утверждения получилось ложное.
3. $A$ — ложно (в огороде нет бузины) и $B$ — истинно (в Киеве есть дядька).
   В этом случае условное высказывание истинно. В логике принято, что из ложной посылки может следовать что угодно (принцип ex falso quodlibet). Утверждение «Если $A$, то $B$» ничего не говорит о ситуации, когда $A$ ложно, поэтому оно не нарушается.
4. $A$ — ложно (в огороде нет бузины) и $B$ — ложно (в Киеве нет дядьки).
   В этом случае условное высказывание также истинно по той же причине, что и в предыдущем пункте. Посылка ложна, следовательно, все утверждение не может быть опровергнуто.

Для наглядности это можно представить в виде таблицы истинности, где И — истина, Л — ложь:

Ответ: Высказывание «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька» является ложным только в том случае, если утверждение «В огороде бузина» истинно, а утверждение «В Киеве дядька» ложно. Во всех остальных случаях данное высказывание считается истинным.

815. Сравните таблицы истинности высказываний:

a) $\overline{A \text{ и } B}$ и $\overline{A} \text{ или } \overline{B}$;

б) $\overline{A \text{ или } B}$ и $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$;

в) Если $A$, то $B$ и Если $\overline{B}$, то $\overline{A}$.

а) Для сравнения таблиц истинности высказываний $\overline{A \text{ и } B}$ и $\overline{A} \text{ или } \overline{B}$ составим для них общую таблицу. В логической алгебре этим высказываниям соответствуют формулы $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$. Обозначим истинное значение как 1, а ложное как 0.

Сравнивая последние два столбца таблицы ($\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$), видим, что они полностью совпадают для всех возможных значений $A$ и $B$. Это означает, что данные высказывания равносильны (эквивалентны). Это один из законов де Моргана.

Ответ: Таблицы истинности для высказываний $\overline{A \text{ и } B}$ и $\overline{A} \text{ или } \overline{B}$ идентичны.

б) Сравним таблицы истинности для высказываний $\overline{A \text{ или } B}$ и $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$. В логической алгебре им соответствуют формулы $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$. Составим для них общую таблицу истинности.

Сравнивая столбцы для выражений $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$, мы видим, что они также полностью совпадают. Эти высказывания равносильны. Это второй закон де Моргана.

Ответ: Таблицы истинности для высказываний $\overline{A \text{ или } B}$ и $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$ идентичны.

в) Сравним таблицы истинности для высказываний "Если $A$, то $B$" и "Если $\overline{B}$, то $\overline{A}$". В логической алгебре это операция импликации ($A \rightarrow B$) и ее контрапозиция ($\overline{B} \rightarrow \overline{A}$). Составим для них общую таблицу истинности. Напомним, что импликация $P \rightarrow Q$ ложна только тогда, когда $P$ истинно, а $Q$ ложно.

Сравнивая столбцы для выражений $A \rightarrow B$ и $\overline{B} \rightarrow \overline{A}$, мы видим, что они полностью совпадают. Это доказывает, что прямое утверждение и его контрапозиция являются логически эквивалентными. Это известно как закон контрапозиции.

Ответ: Таблицы истинности для высказываний "Если $A$, то $B$" и "Если $\overline{B}$, то $\overline{A}$" идентичны.