Номер 810, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

810. а) $(x \ge 3) \Rightarrow (x \ge 5)$;

б) $(x \ge 5) \Rightarrow (x \ge 3)$;

в) $(x \in N) \Rightarrow (x \in Z)$;

г) $(x \in Z) \Rightarrow (x \in N)$.

а) Высказывание $(x \ge 3) \Rightarrow (x \ge 5)$ утверждает, что если число $x$ больше или равно 3, то оно также больше или равно 5. Это утверждение является ложным. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одно число (контрпример), для которого условие $x \ge 3$ выполняется, а условие $x \ge 5$ — нет. Например, возьмем $x=4$. Для этого числа неравенство $4 \ge 3$ является верным, но неравенство $4 \ge 5$ — ложным. Так как из истинного утверждения следует ложное, всё высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.

б) Высказывание $(x \ge 5) \Rightarrow (x \ge 3)$ утверждает, что если число $x$ больше или равно 5, то оно также больше или равно 3. Это утверждение является истинным. Множество чисел, удовлетворяющих условию $x \ge 5$ (промежуток $[5, +\infty)$), является подмножеством множества чисел, удовлетворяющих условию $x \ge 3$ (промежуток $[3, +\infty)$). Это означает, что любое число, которое больше или равно 5, автоматически будет больше или равно 3. Следовательно, из истинности утверждения $x \ge 5$ всегда следует истинность утверждения $x \ge 3$.
Ответ: высказывание истинно.

в) Высказывание $(x \in N) \Rightarrow (x \in Z)$ утверждает, что если $x$ является натуральным числом, то $x$ является и целым числом. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ по своему определению является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Любой элемент множества $N$ также является элементом множества $Z$. Таким образом, утверждение является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

г) Высказывание $(x \in Z) \Rightarrow (x \in N)$ утверждает, что если $x$ является целым числом, то $x$ является и натуральным числом. Это утверждение ложно. Множество целых чисел $Z$ содержит отрицательные числа и ноль, которые не входят в множество натуральных чисел $N$. Например, возьмем $x = -1$. Число $-1$ является целым ($-1 \in Z$), но не является натуральным ($-1 \notin N$). Другой контрпример: $x=0$. Число $0$ является целым ($0 \in Z$), но не натуральным ($0 \notin N$). Так как можно найти целое число, которое не является натуральным, данное высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.