Номер 812, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

812. Пусть $a$, $b$, $c$ — натуральные числа. Определите, истинно или ложно высказывание:

а) ($a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ кратно $c$);

б) ($a$ кратно $c$ и $b$ не кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ не кратно $c$);

в) ($a + b$ кратно $c$) $ \implies $ ($a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c$);

г) ($a$ не кратно $c$ и $b$ не кратно $c$) $ \implies $ ($a + b$ не кратно $c$);

д) ($a$ кратно $c$ или $b$ кратно $c$) $ \implies $ ($ab$ кратно $c$).

а) (a кратно c и b кратно c) ⇒ (a + b кратно c)

Данное высказывание истинно. Это одно из основных свойств делимости.

Доказательство:

Если число $a$ кратно $c$, то по определению существует такое целое число $k_1$, что $a = k_1 \cdot c$.

Аналогично, если число $b$ кратно $c$, то существует такое целое число $k_2$, что $b = k_2 \cdot c$.

Рассмотрим сумму $a + b$:

$a + b = k_1 \cdot c + k_2 \cdot c$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a + b = (k_1 + k_2) \cdot c$

Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $k_3 = k_1 + k_2$ также является целым числом. Таким образом, мы представили сумму $a + b$ в виде произведения целого числа $k_3$ и числа $c$. Это означает, что $a + b$ кратно $c$.

Ответ: Истинно.

б) (a кратно c и b не кратно c) ⇒ (a + b не кратно c)

Данное высказывание истинно.

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что заключение ложно, то есть что сумма $(a + b)$ кратна $c$.

Из условия мы знаем, что $a$ кратно $c$. Это значит, что $a = k_1 \cdot c$ для некоторого целого $k_1$.

Из нашего предположения, $(a + b)$ кратно $c$. Это значит, что $a + b = k_2 \cdot c$ для некоторого целого $k_2$.

Выразим $b$ из второго равенства: $b = (a + b) - a$.

Подставим известные выражения для $a$ и $(a + b)$:

$b = k_2 \cdot c - k_1 \cdot c$

Вынесем $c$ за скобки:

$b = (k_2 - k_1) \cdot c$

Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их разность $k_3 = k_2 - k_1$ также является целым числом. Получается, что $b$ можно представить в виде $b = k_3 \cdot c$, что означает, что $b$ кратно $c$.

Но это противоречит исходному условию, что $b$ не кратно $c$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, сумма $(a + b)$ не может быть кратна $c$.

Ответ: Истинно.

в) (a + b кратно c) ⇒ (a кратно c и b кратно c)

Данное высказывание ложно. Это обратное утверждение к пункту а), и оно не всегда выполняется. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример.

Контрпример:

Пусть $a = 3$, $b = 7$ и $c = 5$.

Проверим условие: $a + b = 3 + 7 = 10$. Число $10$ кратно $5$. Условие $(a + b$ кратно $c)$ выполняется.

Проверим заключение: $a=3$ не кратно $c=5$, и $b=7$ не кратно $c=5$. Заключение $(a$ кратно $c$ и $b$ кратно $c)$ не выполняется.

Поскольку из истинного условия следует ложное заключение, всё высказывание является ложным.

Ответ: Ложно.

г) (a не кратно c и b не кратно c) ⇒ (a + b не кратно c)

Данное высказывание ложно. Как и в предыдущем пункте, приведем контрпример.

Контрпример:

Можно использовать тот же пример, что и для пункта в). Пусть $a = 3$, $b = 7$ и $c = 5$.

Проверим условие: $a = 3$ не кратно $c = 5$, и $b = 7$ не кратно $c = 5$. Условие $(a$ не кратно $c$ и $b$ не кратно $c)$ выполняется.

Проверим заключение: $a + b = 3 + 7 = 10$. Число $10$ кратно $5$. Таким образом, заключение $(a + b$ не кратно $c)$ является ложным.

Так как из истинного условия следует ложное заключение, всё высказывание является ложным.

Ответ: Ложно.

д) (a кратно c или b кратно c) ⇒ (ab кратно c)

Данное высказывание истинно. Это также одно из основных свойств делимости.

Доказательство:

Условие "или" означает, что достаточно выполнения хотя бы одной из его частей. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a$ кратно $c$.

По определению, существует такое целое число $k$, что $a = k \cdot c$.

Тогда произведение $ab$ равно:

$ab = (k \cdot c) \cdot b = (k \cdot b) \cdot c$

Поскольку $k$ и $b$ — целые (в данном случае натуральные) числа, их произведение $k_1 = k \cdot b$ также является целым числом. Значит, $ab = k_1 \cdot c$, что означает, что произведение $ab$ кратно $c$.

Случай 2: $b$ кратно $c$.

По определению, существует такое целое число $m$, что $b = m \cdot c$.

Тогда произведение $ab$ равно:

$ab = a \cdot (m \cdot c) = (a \cdot m) \cdot c$

Поскольку $a$ и $m$ — целые числа, их произведение $k_2 = a \cdot m$ также является целым числом. Значит, $ab = k_2 \cdot c$, что означает, что произведение $ab$ кратно $c$.

В обоих возможных случаях, вытекающих из условия, заключение оказывается верным. Следовательно, все высказывание истинно.

Ответ: Истинно.