Номер 809, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Определите, истинно или ложно высказывание (809, 810):

809. a) Если дробь $\frac{m}{n}$ — правильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная;

б) Если дробь $\frac{m}{n}$ — неправильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная.

а)

Чтобы определить истинность этого высказывания, необходимо проанализировать определения правильной дроби. Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Условие гласит, что дробь $\frac{m}{n}$ — правильная. Это означает, что $m < n$ (при условии, что $m$ и $n$ — натуральные числа). Далее утверждается, что из этого следует, что дробь $\frac{n}{m}$ также является правильной. Для этого необходимо, чтобы её числитель $n$ был меньше её знаменателя $m$, то есть $n < m$. Однако условие $m < n$ и заключение $n < m$ являются взаимоисключающими. Если $m$ меньше $n$, то $n$ не может быть меньше $m$. Наоборот, из $m < n$ следует, что $n > m$. Это означает, что если дробь $\frac{m}{n}$ является правильной, то у обратной ей дроби $\frac{n}{m}$ числитель будет больше знаменателя, и, следовательно, она будет неправильной. Например, возьмём правильную дробь $\frac{3}{7}$. Здесь $m=3, n=7$, и $3 < 7$. Обратная дробь $\frac{7}{3}$ является неправильной, так как $7 > 3$. Таким образом, утверждение ложно.

Ответ: ложно.

б)

Рассмотрим высказывание: "Если дробь $\frac{m}{n}$ — неправильная, то дробь $\frac{n}{m}$ — правильная." Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. То есть, условие, что дробь $\frac{m}{n}$ неправильная, означает, что $m \ge n$. Заключение утверждает, что дробь $\frac{n}{m}$ является правильной. Это означает, что её числитель $n$ должен быть меньше знаменателя $m$, то есть $n < m$. Проверим, всегда ли из условия $m \ge n$ следует заключение $n < m$. Условие $m \ge n$ можно разбить на два случая:
1. $m > n$. В этом случае неравенство $n < m$ верно. Например, если взять неправильную дробь $\frac{8}{5}$ (так как $8 > 5$), то обратная ей дробь $\frac{5}{8}$ будет правильной (так как $5 < 8$). В этом случае утверждение выполняется.
2. $m = n$. В этом случае дробь $\frac{m}{n}$ также является неправильной (например, $\frac{6}{6}$), так как числитель равен знаменателю. Рассмотрим обратную дробь $\frac{n}{m}$. Так как $n=m$, эта дробь также будет иметь вид $\frac{n}{n}$. У этой дроби числитель не меньше знаменателя, а равен ему. Следовательно, по определению, она является неправильной, а не правильной. Поскольку мы нашли случай (когда $m=n$), при котором условие выполняется (дробь $\frac{m}{n}$ неправильная), а заключение нет (дробь $\frac{n}{m}$ тоже неправильная), то всё высказывание в целом является ложным. Для истинности условного утверждения необходимо, чтобы заключение было верным во всех случаях, когда верно условие.

Ответ: ложно.