Страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

800. В опыте из тёмного мешка наудачу вынимают кость домино. Событие $A$ — «извлечена кость с суммой очков 7», $B$ — «извлечена кость с суммой очков 5». Определите вероятности событий $A$, $B$. Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события $C$ — «извлечена кость с суммой очков или 7, или 5».

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Стандартный набор домино состоит из костей, на половинках которых нанесены очки от 0 до 6. Общее число уникальных костей в наборе, $N$, можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) по 2.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ по $k$: $C_{n+k-1}^{k}$. Для домино $n=7$ (вариантов очков), а $k=2$ (две половинки).

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Таким образом, общее число равновероятных исходов (количество костей в мешке) равно 28.

Определите вероятности событий A, B.

Событие A — «извлечена кость с суммой очков 7». Найдем количество исходов, благоприятствующих этому событию. Это все кости, сумма очков на которых равна 7. Перечислим их, учитывая, что кость (a, b) и (b, a) — это одна и та же кость:

• 1 + 6 = 7 (кость 1-6)
• 2 + 5 = 7 (кость 2-5)
• 3 + 4 = 7 (кость 3-4)

Всего 3 кости удовлетворяют условию. Число благоприятствующих событию A исходов $m_A = 3$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m_A}{N}$.

$P(A) = \frac{3}{28}$

Событие B — «извлечена кость с суммой очков 5». Аналогично найдем количество исходов, благоприятствующих событию B. Это кости с суммой очков, равной 5:

• 0 + 5 = 5 (кость 0-5)
• 1 + 4 = 5 (кость 1-4)
• 2 + 3 = 5 (кость 2-3)

Всего 3 кости удовлетворяют этому условию. Число благоприятствующих событию B исходов $m_B = 3$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N}$.

$P(B) = \frac{3}{28}$

Ответ: Вероятность события A равна $\frac{3}{28}$, вероятность события B равна $\frac{3}{28}$.

Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события C — «извлечена кость с суммой очков или 7, или 5».

Событие C происходит, если происходит либо событие A, либо событие B. Таким образом, событие C является объединением событий A и B: $C = A \cup B$.

События A (сумма очков 7) и B (сумма очков 5) являются несовместными, так как не существует кости домино, у которой сумма очков одновременно равна и 7, и 5. Извлечение кости с суммой 7 исключает возможность того, что у нее же сумма очков будет 5.

Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

$P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Подставим найденные ранее значения вероятностей P(A) и P(B):

$P(C) = \frac{3}{28} + \frac{3}{28} = \frac{3+3}{28} = \frac{6}{28}$

Полученную дробь можно сократить на 2:

$P(C) = \frac{3}{14}$

Ответ: $P(C) = \frac{3}{14}$.

801. В опыте из непрозрачного мешка наудачу вынимают кость домино. Рассматриваются события $A$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $2$», $B$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $3$», $C$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $6$». Определите вероятности событий $A$, $B$, $C$. Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события $D$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $2$, или $3$».

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Стандартный набор домино содержит кости со значениями от (0,0) до (6,6). Кости, где значения различны (например, (1,2)), не дублируются (нет кости (2,1)). Общее число костей (исходов) в наборе равно $N = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$, где $n=6$. Таким образом, $N = \frac{(6+1)(6+2)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.

Итак, общее число равновероятных исходов $N=28$.

A — «извлечена кость с суммой очков, кратной 2»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_A$ — костей с четной суммой очков. Сумма очков будет четной, если оба числа на кости четные или оба нечетные.
Четные числа: {0, 2, 4, 6} (4 числа).
Нечетные числа: {1, 3, 5} (3 числа).
Кости, где оба числа четные: (0,0), (0,2), (0,4), (0,6), (2,2), (2,4), (2,6), (4,4), (4,6), (6,6) — всего 10 костей.
Кости, где оба числа нечетные: (1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5) — всего 6 костей.
Общее количество костей с четной суммой: $m_A = 10 + 6 = 16$.
Вероятность события A:$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $P(A) = \frac{4}{7}$.

B — «извлечена кость с суммой очков, кратной 3»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_B$ — костей с суммой очков, кратной 3 (т.е. сумма равна 0, 3, 6, 9, 12).
Сумма 0: (0,0) — 1 кость.
Сумма 3: (0,3), (1,2) — 2 кости.
Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) — 4 кости.
Сумма 9: (3,6), (4,5) — 2 кости.
Сумма 12: (6,6) — 1 кость.
Общее количество таких костей: $m_B = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10$.
Вероятность события B:$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
Ответ: $P(B) = \frac{5}{14}$.

C — «извлечена кость с суммой очков, кратной 6»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_C$ — костей с суммой очков, кратной 6 (т.е. сумма равна 0, 6, 12).
Сумма 0: (0,0) — 1 кость.
Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) — 4 кости.
Сумма 12: (6,6) — 1 кость.
Общее количество таких костей: $m_C = 1 + 4 + 1 = 6$.
Вероятность события C:$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$.
Ответ: $P(C) = \frac{3}{14}$.

D — «извлечена кость с суммой очков, кратной или 2, или 3»

Событие D является объединением событий A и B ($D = A \cup B$). Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле:$P(D) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Событие $A \cap B$ означает, что сумма очков на кости кратна 2 и одновременно кратна 3. Число, кратное 2 и 3, кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6. Таким образом, событие $A \cap B$ совпадает с событием C.
Следовательно, $P(A \cap B) = P(C)$.
Подставим найденные вероятности в формулу:$P(D) = P(A) + P(B) - P(C) = \frac{16}{28} + \frac{10}{28} - \frac{6}{28} = \frac{16 + 10 - 6}{28} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $P(D) = \frac{5}{7}$.

802. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком 0,7, а вторым — 0,8. Считая, что попадание в мишень каждого из стрелков является независимым событием, определите вероятность попадания в мишень:

a) обоими стрелками;

б) хотя бы одним стрелком.

Для решения задачи введем обозначения:

Событие A — попадание в мишень первым стрелком. Вероятность этого события: $P(A) = 0,7$.

Событие B — попадание в мишень вторым стрелком. Вероятность этого события: $P(B) = 0,8$.

По условию, события A и B являются независимыми.

а) обоими стрелками;

Требуется найти вероятность того, что произойдут оба события: и A, и B. Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

$P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56$

Ответ: 0,56

б) хотя бы одним стрелком.

Событие "хотя бы один стрелок попал в мишень" является противоположным событию "оба стрелка промахнулись". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.

Найдем вероятности промахов для каждого стрелка:

Вероятность промаха первого стрелка: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность промаха второго стрелка: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность того, что оба стрелка промахнутся (так как события независимы):

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$.

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень:

$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$.

Ответ: 0,94