Номер 801, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

801. В опыте из непрозрачного мешка наудачу вынимают кость домино. Рассматриваются события $A$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $2$», $B$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $3$», $C$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $6$». Определите вероятности событий $A$, $B$, $C$. Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события $D$ — «извлечена кость с суммой очков, кратной $2$, или $3$».

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Стандартный набор домино содержит кости со значениями от (0,0) до (6,6). Кости, где значения различны (например, (1,2)), не дублируются (нет кости (2,1)). Общее число костей (исходов) в наборе равно $N = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$, где $n=6$. Таким образом, $N = \frac{(6+1)(6+2)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.

Итак, общее число равновероятных исходов $N=28$.

A — «извлечена кость с суммой очков, кратной 2»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_A$ — костей с четной суммой очков. Сумма очков будет четной, если оба числа на кости четные или оба нечетные.
Четные числа: {0, 2, 4, 6} (4 числа).
Нечетные числа: {1, 3, 5} (3 числа).
Кости, где оба числа четные: (0,0), (0,2), (0,4), (0,6), (2,2), (2,4), (2,6), (4,4), (4,6), (6,6) — всего 10 костей.
Кости, где оба числа нечетные: (1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5) — всего 6 костей.
Общее количество костей с четной суммой: $m_A = 10 + 6 = 16$.
Вероятность события A:$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $P(A) = \frac{4}{7}$.

B — «извлечена кость с суммой очков, кратной 3»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_B$ — костей с суммой очков, кратной 3 (т.е. сумма равна 0, 3, 6, 9, 12).
Сумма 0: (0,0) — 1 кость.
Сумма 3: (0,3), (1,2) — 2 кости.
Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) — 4 кости.
Сумма 9: (3,6), (4,5) — 2 кости.
Сумма 12: (6,6) — 1 кость.
Общее количество таких костей: $m_B = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10$.
Вероятность события B:$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
Ответ: $P(B) = \frac{5}{14}$.

C — «извлечена кость с суммой очков, кратной 6»

Найдем количество благоприятствующих исходов $m_C$ — костей с суммой очков, кратной 6 (т.е. сумма равна 0, 6, 12).
Сумма 0: (0,0) — 1 кость.
Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) — 4 кости.
Сумма 12: (6,6) — 1 кость.
Общее количество таких костей: $m_C = 1 + 4 + 1 = 6$.
Вероятность события C:$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$.
Ответ: $P(C) = \frac{3}{14}$.

D — «извлечена кость с суммой очков, кратной или 2, или 3»

Событие D является объединением событий A и B ($D = A \cup B$). Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле:$P(D) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Событие $A \cap B$ означает, что сумма очков на кости кратна 2 и одновременно кратна 3. Число, кратное 2 и 3, кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6. Таким образом, событие $A \cap B$ совпадает с событием C.
Следовательно, $P(A \cap B) = P(C)$.
Подставим найденные вероятности в формулу:$P(D) = P(A) + P(B) - P(C) = \frac{16}{28} + \frac{10}{28} - \frac{6}{28} = \frac{16 + 10 - 6}{28} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $P(D) = \frac{5}{7}$.