Номер 907, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

907. а) $(a^5 \cdot a^2 \cdot a) : (a^3 \cdot a^7);$

б) $(x^4 \cdot x^3 \cdot x) : (x^3 \cdot x^6);$

в) $(ab^2)^3 : (a^2b^4);$

г) $(m^3n^5)^3 : (m^9n^15).$

а) Для решения примера $(a^5 \cdot a^2 \cdot a) : (a^3 \cdot a^7)$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим выражение в первых скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Важно помнить, что $a$ можно записать как $a^1$.
$(a^5 \cdot a^2 \cdot a^1) = a^{5+2+1} = a^8$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках по тому же правилу:
$(a^3 \cdot a^7) = a^{3+7} = a^{10}$.
Выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:
$a^8 : a^{10} = a^{8-10} = a^{-2}$.
Ответ: $a^{-2}$.

б) Решаем пример $(x^4 \cdot x^3 \cdot x) : (x^3 \cdot x^6)$ аналогично предыдущему.
Упростим выражение в первых скобках, помня, что $x = x^1$:
$(x^4 \cdot x^3 \cdot x^1) = x^{4+3+1} = x^8$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x^3 \cdot x^6) = x^{3+6} = x^9$.
Выполним деление полученных выражений:
$x^8 : x^9 = x^{8-9} = x^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}$.

в) Для решения примера $(ab^2)^3 : (a^2b^4)$ будем использовать правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Сначала раскроем скобки в первом выражении:
$(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $(a^2b^4)$:
$a^3b^6 : a^2b^4 = (a^3:a^2) \cdot (b^6:b^4) = a^{3-2} \cdot b^{6-4} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

г) Решаем пример $(m^3n^5)^3 : (m^9n^{15})$, используя те же правила, что и в пункте в).
Упростим выражение в первых скобках:
$(m^3n^5)^3 = (m^3)^3 \cdot (n^5)^3 = m^{3 \cdot 3} \cdot n^{5 \cdot 3} = m^9n^{15}$.
Теперь выполним деление:
$(m^9n^{15}) : (m^9n^{15})$.
Поскольку мы делим выражение само на себя, результат равен 1 (при условии, что $m \neq 0$ и $n \neq 0$).
Также можно применить правило деления степеней:
$m^{9-9} \cdot n^{15-15} = m^0 \cdot n^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.