Номер 914, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

914. а) $x^2 - 4x + 4;$

в) $x^2 - 5x + 6;$

д) $x^4 - x^2 - 2x - 1;$

б) $x^2 - 4x + 5;$

г) $x^2 - x - 6;$

е) $x^4 - x^2 + 6x - 9.$

а) $x^2 - 4x + 4$

Данный трехчлен является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.

$b^2 = 4$, значит $b = 2$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 4$ полностью соответствует формуле $(x-2)^2$.

Ответ: $(x-2)^2$.

б) $x^2 - 4x + 5$

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$, нужно найти его корни. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

Найдем дискриминант для $x^2 - 4x + 5$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Следовательно, его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Другой способ - метод выделения полного квадрата:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), поэтому $(x-2)^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Оно никогда не равно нулю, что подтверждает отсутствие действительных корней.

Ответ: На множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

в) $x^2 - 5x + 6$

Для разложения на множители этого квадратного трехчлена найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Тогда разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. Так как $a=1$, получаем:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

г) $x^2 - x - 6$

Найдем корни квадратного трехчлена. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Разложение на множители:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 2)$.

д) $x^4 - x^2 - 2x - 1$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$x^4 - (x^2 + 2x + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 - (x+1)^2 = (x^2)^2 - (x+1)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x+1$.

$(x^2 - (x+1))(x^2 + (x+1)) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Полученные квадратные трехчлены $x^2 - x - 1$ и $x^2 + x + 1$ не имеют рациональных корней и являются неприводимыми над полем рациональных чисел.

Ответ: $(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

е) $x^4 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$x^4 - (x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 - (x-3)^2 = (x^2)^2 - (x-3)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x-3$.

$(x^2 - (x-3))(x^2 + (x-3)) = (x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$.

Полученные квадратные трехчлены $x^2 - x + 3$ и $x^2 + x - 3$ не имеют рациональных корней.

Ответ: $(x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$.