Номер 910, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

910. Приведите многочлен к стандартному виду:

a) $4x^3 - 2xx^2 - xx^2 + 5x^2 - 5xx + 1;$

б) $3xx^3 - 4x^2x^2 + x^5 - 3xx^2 + 4x - 1.$

а) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить два шага: во-первых, привести каждый член многочлена к стандартному виду (то есть записать его в виде произведения числового коэффициента и переменных в степенях), и, во-вторых, сложить подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью) и расположить их в порядке убывания степеней.

Дан многочлен: $4x^3 - 2xx^2 - xx^2 + 5x^2 - 5xx + 1$.

1. Приведем каждый член к стандартному виду, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

• Член $-2xx^2$ упрощается до $-2x^{1+1+2} = -2x^4$.
• Член $-xx^2$ упрощается до $-x^{1+1+2} = -x^4$.
• Член $-5xx$ упрощается до $-5x^{1+1} = -5x^2$.

После упрощения отдельных членов многочлен принимает вид: $4x^3 - 2x^4 - x^4 + 5x^2 - 5x^2 + 1$.

2. Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

• Для $x^4$: $-2x^4 - x^4 = (-2 - 1)x^4 = -3x^4$.
• Для $x^3$: член $4x^3$ единственный.
• Для $x^2$: $5x^2 - 5x^2 = (5-5)x^2 = 0x^2 = 0$.
• Свободный член (константа): $1$.

Собрав все упрощенные части, получаем: $-3x^4 + 4x^3 + 0 + 1$.

3. Запишем многочлен в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней переменной $x$: $-3x^4 + 4x^3 + 1$.

Ответ: $-3x^4 + 4x^3 + 1$.

б) Решим вторую часть задачи аналогичным образом.

Дан многочлен: $3xx^3 - 4x^2x^2 + x^5 - 3xx^2 + 4x - 1$.

1. Приведем каждый член к стандартному виду:

• Член $3xx^3$ упрощается до $3x^{1+3} = 3x^4$.
• Член $-4x^2x^2$ упрощается до $-4x^{2+2} = -4x^4$.
• Член $-3xx^2$ упрощается до $-3x^{1+2} = -3x^3$.

После упрощения многочлен выглядит так: $3x^4 - 4x^4 + x^5 - 3x^3 + 4x - 1$.

2. Сгруппируем и сложим подобные члены:

• Член $x^5$ единственный.
• Для $x^4$: $3x^4 - 4x^4 = (3-4)x^4 = -1x^4 = -x^4$.
• Член $-3x^3$ единственный.
• Член $4x$ единственный.
• Свободный член: $-1$.

3. Теперь запишем итоговый многочлен, расположив члены в порядке убывания их степеней (от большей к меньшей): $x^5 - x^4 - 3x^3 + 4x - 1$.

Ответ: $x^5 - x^4 - 3x^3 + 4x - 1$.