Номер 916, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

916. а) $x^4 + 1;$

б) $x^3 - 7x - 6.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 + 1$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании одного и того же слагаемого с целью получить формулу сокращенного умножения.

1. Исходное выражение: $x^4 + 1$.

2. Чтобы получить полный квадрат $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$, нам не хватает слагаемого $2x^2$. Добавим и вычтем его, чтобы не изменить значение выражения:

$x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2$

3. Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2$

4. Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

5. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 + 1)^2 - (x\sqrt{2})^2 = (x^2 + 1 - x\sqrt{2})(x^2 + 1 + x\sqrt{2})$

6. Запишем многочлены в стандартном виде (в порядке убывания степеней $x$):

$(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Полученные квадратные трехчлены не имеют действительных корней, так как их дискриминанты отрицательны. Следовательно, это окончательное разложение на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

б) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - 7x - 6$, найдем его целые корни, если они существуют. Согласно следствию из теоремы Безу (или теореме о рациональных корнях), целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.

1. Свободный член равен -6. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

2. Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3 - 7x - 6$ до тех пор, пока не найдем корень:

$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$ — одним из множителей.

3. Теперь, зная один из множителей, разложим многочлен на множители методом группировки. Для этого представим некоторые его члены в виде суммы или разности так, чтобы из каждой группы можно было выделить множитель $(x+1)$.

$x^3 - 7x - 6 = x^3 \underline{+ x^2 - x^2} \underline{- x} - 6x - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) - (x^2 + x) - (6x + 6)$

4. Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x+1) - x(x+1) - 6(x+1)$

5. Теперь вынесем общий для всех слагаемых множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 - x - 6)$

6. Осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-2$.

Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x - (-2)) = (x-3)(x+2)$.

7. Окончательно получаем разложение исходного многочлена:

$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x+2)(x-3)$

Ответ: $(x+1)(x+2)(x-3)$