Номер 926, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

926. а) $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x-y)+(x+y)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right);$

б) $\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right):\left(2-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right):\left(\frac{y}{x}+1\right).$

а) $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(x-y) + (x+y)(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$

Для решения данного выражения, мы будем упрощать его по частям. Сначала выполним действия в скобках, приводя дроби к общему знаменателю, а затем выполним умножение и сложение.

1. Преобразуем выражение в первой паре скобок: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$.

2. Преобразуем выражение в последней паре скобок: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(\frac{x+y}{xy})(x-y) + (x+y)(\frac{y-x}{xy})$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $\frac{x+y}{xy} \cdot (x-y) = \frac{(x+y)(x-y)}{xy} = \frac{x^2-y^2}{xy}$ (используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$).

Второе слагаемое: $(x+y) \cdot \frac{y-x}{xy} = \frac{(x+y)(y-x)}{xy}$. Заметим, что $y-x = -(x-y)$, поэтому выражение можно переписать как $\frac{-(x+y)(x-y)}{xy} = \frac{-(x^2-y^2)}{xy} = \frac{y^2-x^2}{xy}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{x^2-y^2}{xy} + \frac{y^2-x^2}{xy} = \frac{(x^2-y^2) + (y^2-x^2)}{xy} = \frac{x^2-y^2+y^2-x^2}{xy} = \frac{0}{xy} = 0$.

Данное равенство верно при $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: $0$

б) $(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}) : (2 - \frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : (\frac{y}{x} + 1)$

Решим задачу по действиям, предварительно упростив выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

1. Упростим первое выражение в скобках: $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y}{xy} - \frac{x \cdot x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.

2. Упростим второе выражение в скобках: $2 - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{2xy}{xy} - \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{2xy - x^2 - y^2}{xy}$. В числителе можно вынести минус за скобки, чтобы получить формулу квадрата разности: $\frac{-(x^2 - 2xy + y^2)}{xy} = \frac{-(x-y)^2}{xy}$.

3. Упростим третье выражение в скобках: $\frac{y}{x} + 1 = \frac{y}{x} + \frac{x}{x} = \frac{y+x}{x}$.

Теперь выполним деление по порядку, подставив упрощенные выражения.

4. Первое деление: $(\frac{y^2 - x^2}{xy}) : (\frac{-(x-y)^2}{xy})$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{y^2 - x^2}{xy} \cdot \frac{xy}{-(x-y)^2} = \frac{y^2 - x^2}{-(x-y)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$ и учтем, что $y-x = -(x-y)$:

$\frac{(y-x)(y+x)}{-(x-y)^2} = \frac{-(x-y)(x+y)}{-(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}$.

5. Второе деление: результат первого действия делим на третье упрощенное выражение.

$(\frac{x+y}{x-y}) : (\frac{x+y}{x}) = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x}{x+y}$.

Сокращаем на общий множитель $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):

$\frac{x}{x-y}$.

Ответ: $\frac{x}{x-y}$