Номер 924, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

924. a) $(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}) : \frac{xy}{x^2 - y^2};$

б) $(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m)(m - \frac{1}{m}).$

a) $\left(\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y}\right) : \frac{xy}{x^2-y^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$\frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} = \frac{x(x+y) - x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

2. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + xy - (x^2 - xy)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + xy - x^2 + xy}{x^2 - y^2} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{2xy}{x^2 - y^2} : \frac{xy}{x^2 - y^2} = \frac{2xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{xy}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($xy$ и $x^2-y^2$):

$\frac{2\cancel{xy}}{\cancel{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - y^2}}{\cancel{xy}} = 2$

При условии, что $x \neq y$, $x \neq -y$, $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Ответ: $2$

б) $\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m\right) \left(m - \frac{1}{m}\right)$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражение в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} + 4m$.

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $(m-1)(m+1) = m^2-1$:

$\frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{(m-1)(m-1)}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{m^2-1}$

Раскроем квадраты в числителе по формулам сокращенного умножения:

$\frac{(m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 2m + 1)}{m^2 - 1} = \frac{m^2 + 2m + 1 - m^2 + 2m - 1}{m^2 - 1} = \frac{4m}{m^2 - 1}$

Теперь добавим к результату $4m$:

$\frac{4m}{m^2 - 1} + 4m = \frac{4m}{m^2 - 1} + \frac{4m(m^2 - 1)}{m^2 - 1} = \frac{4m + 4m^3 - 4m}{m^2 - 1} = \frac{4m^3}{m^2 - 1}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $m - \frac{1}{m}$.

Приведем к общему знаменателю $m$:

$m - \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m^2 - 1}{m}$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{4m^3}{m^2 - 1} \cdot \frac{m^2 - 1}{m}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($m^2-1$ и $m$):

$\frac{4m^2 \cdot \cancel{m} \cdot \cancel{(m^2 - 1)}}{\cancel{(m^2 - 1)} \cdot \cancel{m}} = 4m^2$

При условии, что $m \neq 1$, $m \neq -1$, $m \neq 0$.

Ответ: $4m^2$