Номер 925, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

925. а) $\left(\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}\right)\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-2\right);$

б) $\left(\frac{x^2y-y^2x}{x-y}+xy\right)\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right).$

а)

Решим задачу, упрощая поочередно каждую из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) + x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем все члены к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - 2 = \frac{x^2 \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y^2 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} - \frac{2x^2y^2}{x^2y^2} = \frac{x^4 + y^4 - 2x^2y^2}{x^2y^2}$

Заметим, что числитель $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:

$\frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2}$

3. Теперь перемножим упрощенные выражения из первой и второй скобок:

$\left(\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}\right) \cdot \left(\frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2}\right)$

Сократим общий множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{x^2 + y^2}{1} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)}{x^2y^2}$

Применим к числителю формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$\frac{(x^2)^2 - (y^2)^2}{x^2y^2} = \frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}$

б)

Решим задачу, упрощая поочередно каждую из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке. В числителе дроби вынесем общий множитель $xy$ за скобки:

$\frac{x^2y - y^2x}{x-y} + xy = \frac{xy(x-y)}{x-y} + xy$

Сократим дробь на $(x-y)$ (при условии $x \neq y$):

$xy + xy = 2xy$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y}{x \cdot y} + \frac{x \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$2xy \cdot \left(\frac{x^2 + y^2}{xy}\right)$

Сократим на $xy$ (при условии $x \neq 0, y \neq 0$):

$2(x^2 + y^2)$

Ответ: $2(x^2 + y^2)$