Страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1018. a) $\left\{ \begin{array}{l} |x - 1| + y = 0, \\ 2x - y = 1; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} |y - 4| = x, \\ 3x + y = 1. \end{array} \right.$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} |x-1| + y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 2x - 1 $$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ |x-1| + (2x - 1) = 0 $$ Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

1. Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид: $$ (x-1) + (2x - 1) = 0 $$ $$ 3x - 2 = 0 $$ $$ 3x = 2 $$ $$ x = \frac{2}{3} $$ Полученное значение $x$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид: $$ -(x-1) + (2x-1) = 0 $$ $$ -x + 1 + 2x - 1 = 0 $$ $$ x = 0 $$ Полученное значение $x$ удовлетворяет условию $x < 1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в выражение $y = 2x - 1$: $$ y = 2(0) - 1 = -1 $$ Таким образом, решение системы — пара чисел $(0; -1)$.

Проверим найденное решение, подставив его в исходную систему:
$|0-1| + (-1) = |-1| - 1 = 1 - 1 = 0$ (верно)
$2(0) - (-1) = 0 + 1 = 1$ (верно)

Ответ: $(0; -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} |y-4| = x, \\ 3x + y = 1. \end{cases} $$ Из первого уравнения следует, что $x$ должен быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$, так как значение модуля не может быть отрицательным числом.

Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 1 - 3x $$ Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ |(1 - 3x) - 4| = x $$ $$ |-3x - 3| = x $$ Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $$ |3x + 3| = x $$ $$ 3|x + 1| = x $$

Так как мы ранее установили, что $x \ge 0$, то выражение $x+1$ всегда будет положительным (если $x \ge 0$, то $x+1 \ge 1$).
Следовательно, мы можем раскрыть модуль: $|x+1| = x+1$. $$ 3(x + 1) = x $$ $$ 3x + 3 = x $$ $$ 2x = -3 $$ $$ x = -\frac{3}{2} $$

Полученное значение $x = -1.5$ противоречит нашему начальному условию $x \ge 0$.
Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы системе уравнений.

Другой способ решения — рассмотреть два случая для раскрытия модуля в первом уравнении.

1. Если $y-4 \ge 0$ (т.е. $y \ge 4$), то $|y-4| = y-4$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} y-4=x \\ 3x+y=1 \end{cases} $$ Подставляем $x = y-4$ во второе уравнение: $$ 3(y-4) + y = 1 $$ $$ 3y - 12 + y = 1 $$ $$ 4y = 13 \implies y = \frac{13}{4} = 3.25 $$ Это значение не удовлетворяет условию $y \ge 4$, значит, в этом случае решений нет.

2. Если $y-4 < 0$ (т.е. $y < 4$), то $|y-4| = -(y-4) = 4-y$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 4-y=x \\ 3x+y=1 \end{cases} $$ Подставляем $x = 4-y$ во второе уравнение: $$ 3(4-y) + y = 1 $$ $$ 12 - 3y + y = 1 $$ $$ 12 - 2y = 1 $$ $$ 2y = 11 \implies y = \frac{11}{2} = 5.5 $$ Это значение не удовлетворяет условию $y < 4$, значит, в этом случае решений также нет.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

1019. При каком значении $a$ сумма квадратов чисел, составляющих решение системы уравнений

$\begin{cases} x - 2y = a, \\ 2x - y = a + 1, \end{cases}$

будет наименьшей?

Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов решения системы будет наименьшей, необходимо сначала выразить решение $(x, y)$ через $a$.

Дана система линейных уравнений:

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - (a + 1)$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x - 2(2x - a - 1) = a$

$x - 4x + 2a + 2 = a$

$-3x = a - 2a - 2$

$-3x = -a - 2$

Умножим обе части на -1:

$3x = a + 2$

$x = \frac{a + 2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив полученное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 2\left(\frac{a + 2}{3}\right) - (a + 1)$

$y = \frac{2a + 4}{3} - \frac{3(a + 1)}{3}$

$y = \frac{2a + 4 - 3a - 3}{3}$

$y = \frac{1 - a}{3}$

Таким образом, решение системы уравнений выражается через параметр $a$ как $x = \frac{a + 2}{3}$ и $y = \frac{1 - a}{3}$.

Теперь нам нужно найти, при каком значении $a$ сумма квадратов этих чисел, $S = x^2 + y^2$, будет наименьшей. Составим функцию $S(a)$:

$S(a) = x^2 + y^2 = \left(\frac{a + 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1 - a}{3}\right)^2$

Упростим это выражение:

$S(a) = \frac{(a + 2)^2}{9} + \frac{(1 - a)^2}{9}$

$S(a) = \frac{(a^2 + 4a + 4) + (1 - 2a + a^2)}{9}$

$S(a) = \frac{2a^2 + 2a + 5}{9}$

Функция $S(a) = \frac{2}{9}a^2 + \frac{2}{9}a + \frac{5}{9}$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($\frac{2}{9} > 0$). Следовательно, эта функция имеет точку минимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы вида $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = \frac{2}{9}$ и $B = \frac{2}{9}$. Найдем значение $a$, соответствующее вершине параболы:

$a = -\frac{\frac{2}{9}}{2 \cdot \frac{2}{9}} = -\frac{\frac{2}{9}}{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, сумма квадратов чисел, составляющих решение системы, будет наименьшей при $a = -0.5$.

Ответ: $a = -0.5$

Функции и графики

1020. Постройте график функции:

а) $y = x$;

б) $y = -2x + 3$;

в) $y = \frac{1}{3}x - 2$;

г) $y = -2,5x - 1.$

а) Для построения графика функции $y=x$, которая является линейной, найдем координаты двух точек. Графиком линейной функции является прямая линия, и для ее построения достаточно двух точек.

1. Возьмем значение аргумента $x=0$. Подставим его в уравнение функции: $y=0$. Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 0)$.

2. Возьмем другое значение аргумента, например, $x=2$. Подставим его в уравнение: $y=2$. Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

На координатной плоскости отмечаем точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$ и проводим через них прямую. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Ответ: Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

б) Функция $y=-2x+3$ является линейной, ее график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). Для этого положим $x=0$:
$y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$.
Получили точку $(0, 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Для этого положим $y=0$:
$0 = -2x+3$
$2x = 3$
$x = 1,5$.
Получили точку $(1,5; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 3)$ и $(1,5; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции $y=-2x+3$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 3)$ и $(1,5; 0)$.

в) Функция $y=\frac{1}{3}x-2$ является линейной, ее график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек. Чтобы получить целые значения координат, удобно выбирать значения $x$, кратные 3.

1. Возьмем $x=0$. Тогда $y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Первая точка — $(0, -2)$.

2. Возьмем $x=3$. Тогда $y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 2 = 1 - 2 = -1$. Вторая точка — $(3, -1)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -2)$ и $(3, -1)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции $y=\frac{1}{3}x-2$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -2)$ и $(3, -1)$.

г) Функция $y=-2,5x-1$ является линейной, ее график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек.

1. Возьмем $x=0$. Тогда $y = -2,5 \cdot 0 - 1 = -1$. Первая точка — $(0, -1)$.

2. Для получения целых координат, выберем $x=-2$. Тогда $y = -2,5 \cdot (-2) - 1 = 5 - 1 = 4$. Вторая точка — $(-2, 4)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -1)$ и $(-2, 4)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции $y=-2,5x-1$ является прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -1)$ и $(-2, 4)$.

1021. Найдите числа $a$ и $b$, при которых прямые $x + y = -b$ и $x - ay - 2 = 0$:

а) пересекаются в точке $(1; 1);$

б) параллельны и не совпадают;

в) совпадают.

Даны два уравнения прямых: 1) $x + y = -b$ и 2) $x - ay - 2 = 0$.

Для анализа взаимного расположения прямых приведем их к общему виду $Ax + By + C = 0$.

Первое уравнение: $x + y + b = 0$. Здесь коэффициенты $A_1 = 1$, $B_1 = 1$, $C_1 = b$.

Второе уравнение: $x - ay - 2 = 0$. Здесь коэффициенты $A_2 = 1$, $B_2 = -a$, $C_2 = -2$.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, определяется соотношением их коэффициентов: прямые пересекаются в одной точке, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$; прямые параллельны и не совпадают, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$; прямые совпадают, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

а) пересекаются в точке (1; 1)

Если прямые пересекаются в точке (1; 1), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.

Подставим $x = 1$ и $y = 1$ в первое уравнение $x + y = -b$:

$1 + 1 = -b$

$2 = -b$

$b = -2$

Подставим $x = 1$ и $y = 1$ во второе уравнение $x - ay - 2 = 0$:

$1 - a \cdot 1 - 2 = 0$

$-1 - a = 0$

$a = -1$

Таким образом, чтобы прямые проходили через точку (1; 1), необходимо, чтобы $a = -1$ и $b = -2$. При этих значениях, как будет показано в пункте в), прямые совпадают, а значит, имеют бесконечно много общих точек, включая точку (1; 1).

Ответ: $a = -1$, $b = -2$.

б) параллельны и не совпадают

Для того чтобы прямые были параллельны и не совпадали, должно выполняться условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Подставим наши коэффициенты:

$\frac{1}{1} = \frac{1}{-a} \neq \frac{b}{-2}$

Из первой части равенства $\frac{1}{1} = \frac{1}{-a}$ находим $a$:

$1 = \frac{1}{-a}$

$-a = 1$

$a = -1$

Из второй части, неравенства $\frac{1}{-a} \neq \frac{b}{-2}$, находим условие для $b$. Подставим найденное значение $a = -1$:

$\frac{1}{-(-1)} \neq \frac{b}{-2}$

$1 \neq \frac{b}{-2}$

$-2 \neq b$

Следовательно, прямые параллельны и не совпадают при $a = -1$ и любом значении $b$, не равном -2.

Ответ: $a = -1$, $b \neq -2$.

в) совпадают

Для того чтобы прямые совпадали, должно выполняться условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

Подставим наши коэффициенты:

$\frac{1}{1} = \frac{1}{-a} = \frac{b}{-2}$

Из равенства $\frac{1}{1} = \frac{1}{-a}$ находим $a$:

$1 = \frac{1}{-a} \Rightarrow -a = 1 \Rightarrow a = -1$

Из равенства $\frac{1}{1} = \frac{b}{-2}$ находим $b$:

$1 = \frac{b}{-2} \Rightarrow b = -2$

Следовательно, прямые совпадают при $a = -1$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -1$, $b = -2$.

1022. Постройте график функции $y = 3x - 1$. Замените $x$ на $y$, а $y$ на $x$ и постройте график полученной функции в той же системе координат.

Построение графика функции $y=3x-1$

Данная функция является линейной, так как представляет собой уравнение вида $y=kx+b$. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Составим таблицу значений для двух точек:
1. Примем $x=0$. Тогда значение $y$ будет: $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку A с координатами $(0; -1)$.
2. Примем $x=1$. Тогда значение $y$ будет: $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Получаем точку B с координатами $(1; 2)$.

Теперь на координатной плоскости нужно отметить точки A(0; -1) и B(1; 2) и провести через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y=3x-1$.

Ответ: График функции $y=3x-1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(1; 2)$.

Замена переменных и построение графика полученной функции

В исходном уравнении $y=3x-1$ выполним замену переменных, как указано в задании: заменим $x$ на $y$, а $y$ на $x$.
Получаем новое уравнение: $x = 3y - 1$.

Это также уравнение линейной функции. Чтобы построить ее график, принято выражать $y$ через $x$:
$3y = x + 1$
$y = \frac{x+1}{3}$
Запишем в стандартном виде: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

Для построения графика этой функции также найдем координаты двух точек:
1. Примем $x=-1$. Тогда $y = \frac{-1+1}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Получаем точку C с координатами $(-1; 0)$.
2. Примем $x=2$. Тогда $y = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку D с координатами $(2; 1)$.

На той же координатной плоскости, где уже построен первый график, отмечаем точки C(-1; 0) и D(2; 1) и проводим через них вторую прямую.

Примечание: полученные функции $y=3x-1$ и $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Обратите внимание, что координаты точек для второго графика (C и D) можно было получить, просто поменяв местами координаты точек первого графика (A и B): A(0; -1) $\rightarrow$ C(-1; 0) и B(1; 2) $\rightarrow$ D(2; 1).

Ответ: После замены переменных получается функция $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Её график — это прямая, проходящая через точки $(-1; 0)$ и $(2; 1)$. В одной системе координат необходимо построить две прямые, которые симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

1023. Постройте график функции $y = 3x^2 + 1$. Найдите с помощью графика:

а) $y(1)$;

б) $y(-2)$;

в) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 1$;

г) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 2$.

Для построения графика функции $y = 3x^2 + 1$ определим её ключевые характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 3), ветви параболы направлены вверх. График можно получить из графика основной параболы $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза и последующего смещения на 1 единицу вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$. Ордината вершины: $y(0) = 3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

а) y(1)

Чтобы найти значение функции при $x=1$ с помощью графика, находим на оси абсцисс ($Ox$) точку $x=1$. Восстанавливаем перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком (синяя пунктирная линия). Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат ($Oy$). Эта линия указывает на значение $y=4$.
Проверка вычислением: $y(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

б) y(-2)

Находим на оси $Ox$ точку $x=-2$. Восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком (зеленая пунктирная линия). Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси $Oy$ и находим значение $y=13$.
Проверка вычислением: $y(-2) = 3 \cdot (-2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

Ответ: $13$

в) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 1$

Чтобы найти значение аргумента $x_0$, при котором значение функции равно 1, находим на оси $Oy$ точку $y=1$. Проводим через нее горизонтальную линию (красная пунктирная линия) до пересечения с графиком. Эта линия касается параболы в одной точке — её вершине. Абсцисса этой точки равна $0$.
Проверка вычислением: $1 = 3x_0^2 + 1 \Rightarrow 3x_0^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

Ответ: $x_0=0$

г) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 2$

Находим на оси $Oy$ точку $y=2$ и проводим через нее горизонтальную линию (фиолетовая пунктирная линия). Эта линия пересекает параболу в двух точках. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось $Ox$, мы найдем два искомых значения $x_0$. Из графика видно, что эти значения симметричны относительно нуля и приблизительно равны $\pm 0.6$.
Для нахождения точных значений решим уравнение: $2 = 3x_0^2 + 1 \Rightarrow 3x_0^2 = 1 \Rightarrow x_0^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $x_0 = -\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $x_0 = \sqrt{\frac{1}{3}}$

1024. Принадлежит ли точка $(-0.2; 0.4)$ графику функции $y = x^2$?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Нам дана функция $y = x^2$ и точка с координатами $(-0,2; 0,4)$.

В координатах точки $(-0,2; 0,4)$ значение абсциссы $x = -0,2$, а значение ординаты $y = 0,4$.

Подставим значение $x = -0,2$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:
$y = (-0,2)^2$

Вычислим значение квадрата:
$y = (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04$

Теперь сравним вычисленное значение $y$ с ординатой данной точки.
Вычисленное значение: $y = 0,04$.
Ордината точки: $y = 0,4$.

Так как $0,04 \neq 0,4$, равенство не выполняется. Следовательно, точка $(-0,2; 0,4)$ не принадлежит графику функции $y = x^2$.

Ответ: нет, не принадлежит.

Постройте график функции (1025–1029):

1025. а) $y = 3x - 4;$

б) $y = -2x + 1;$

в) $y = -3x - 2;$

г) $y = |x| - 3;$

д) $y = |x - 3|;$

е) $y = |x - 1| - 2;$

ж) $y = |x| + 1;$

з) $y = |x + 2|;$

и) $y = |x + 2| - 3.$

а) $y = 3x - 4$

Функция $y = 3x - 4$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Первая точка имеет координаты $(0, -4)$.

2. Возьмем $x = 2$. Тогда $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Теперь нужно построить систему координат, отметить на ней точки $(0, -4)$ и $(2, 2)$ и провести через них прямую.

Ответ: График функции $y=3x-4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(2, 2)$.

б) $y = -2x + 1$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдем две точки для её построения.

1. При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

2. При $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, -3)$.

Ответ: График функции $y=-2x+1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, -3)$.

в) $y = -3x - 2$

Это также линейная функция, график — прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

2. При $x = -1$, $y = -3 \cdot (-1) - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Проводим прямую через точки $(0, -2)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y=-3x-2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(-1, 1)$.

г) $y = |x| - 3$

График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в начале координат) путем его смещения на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x - 3$ для $x \ge 0$
• $y = -x - 3$ для $x < 0$

Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $|x| - 3 = 0 \Rightarrow |x| = 3$, откуда $x=3$ и $x=-3$. Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x|-3$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх и проходят через точки $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

д) $y = |x - 3|$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем его смещения на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x - 3$ для $x \ge 3$
• $y = -(x - 3) = -x + 3$ для $x < 3$

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = |0 - 3| = 3$. Точка $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y=|x-3|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх.

е) $y = |x - 1| - 2$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ двумя последовательными сдвигами: на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

1. Сдвиг $y = |x|$ на 1 вправо дает $y = |x-1|$. Вершина в $(1, 0)$.

2. Сдвиг $y = |x-1|$ на 2 вниз дает $y = |x-1|-2$. Вершина в $(1, -2)$.

Найдем точки пересечения с осями:

С осью Ox ($y=0$): $|x - 1| - 2 = 0 \Rightarrow |x-1|=2$. Это дает два уравнения: $x-1=2 \Rightarrow x=3$ и $x-1=-2 \Rightarrow x=-1$. Точки: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.

С осью Oy ($x=0$): $y = |0 - 1| - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка: $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y=|x-1|-2$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

ж) $y = |x| + 1$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Вершина графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, 1)$.

Так как $|x| \ge 0$, то $y = |x| + 1 \ge 1$. Это означает, что график полностью лежит выше оси Ox и не пересекает её.

Ответ: График функции $y=|x|+1$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вершина в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх.

з) $y = |x + 2|$

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox (так как $x+2 = x-(-2)$).

Вершина графика переместится из $(0, 0)$ в $(-2, 0)$.

График состоит из двух лучей:

• $y = x + 2$ для $x \ge -2$
• $y = -(x + 2) = -x - 2$ для $x < -2$

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = |0 + 2| = 2$. Точка $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2, 0)$, ветви направлены вверх.

и) $y = |x + 2| - 3$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ двумя сдвигами: на 2 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.

1. Сдвиг $y = |x|$ на 2 влево дает $y = |x+2|$. Вершина в $(-2, 0)$.

2. Сдвиг $y = |x+2|$ на 3 вниз дает $y = |x+2|-3$. Вершина в $(-2, -3)$.

Найдем точки пересечения с осями:

С осью Ox ($y=0$): $|x + 2| - 3 = 0 \Rightarrow |x+2|=3$. Это дает два уравнения: $x+2=3 \Rightarrow x=1$ и $x+2=-3 \Rightarrow x=-5$. Точки: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

С осью Oy ($x=0$): $y = |0 + 2| - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка: $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|-3$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(-2, -3)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.

1026. а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = x^2 + 1$;

в) $y = (x - 2)^2$;

г) $y = (x + 1)^2$;

д) $y = -(x - 3)^2$;

е) $y = -2(x + 3)^2$;

ж) $y = (x - 2)^2 + 4;$

з) $y = -(x - 1)^2 + 1;$

и) $y = -2(x + 1)^2 - 4.$

Для анализа каждой квадратичной функции будем использовать её вершинную форму $y = a(x - h)^2 + k$. В этой форме $(h, k)$ — координаты вершины параболы, прямая $x = h$ — её ось симметрии. Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а) $y = x^2 - 4$

Данное уравнение можно представить в виде $y = 1 \cdot (x - 0)^2 - 4$.
Здесь $a = 1$, $h = 0$, $k = -4$.
Координаты вершины: $(0, -4)$.
Ось симметрии: $x = 0$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, -4)$, ось симметрии $x=0$, ветви направлены вверх.

б) $y = x^2 + 1$

Данное уравнение можно представить в виде $y = 1 \cdot (x - 0)^2 + 1$.
Здесь $a = 1$, $h = 0$, $k = 1$.
Координаты вершины: $(0, 1)$.
Ось симметрии: $x = 0$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, 1)$, ось симметрии $x=0$, ветви направлены вверх.

в) $y = (x - 2)^2$

Данное уравнение можно представить в виде $y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 0$.
Здесь $a = 1$, $h = 2$, $k = 0$.
Координаты вершины: $(2, 0)$.
Ось симметрии: $x = 2$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(2, 0)$, ось симметрии $x=2$, ветви направлены вверх.

г) $y = (x + 1)^2$

Данное уравнение можно представить в виде $y = 1 \cdot (x - (-1))^2 + 0$.
Здесь $a = 1$, $h = -1$, $k = 0$.
Координаты вершины: $(-1, 0)$.
Ось симметрии: $x = -1$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(-1, 0)$, ось симметрии $x=-1$, ветви направлены вверх.

д) $y = -(x - 3)^2$

Данное уравнение можно представить в виде $y = -1 \cdot (x - 3)^2 + 0$.
Здесь $a = -1$, $h = 3$, $k = 0$.
Координаты вершины: $(3, 0)$.
Ось симметрии: $x = 3$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(3, 0)$, ось симметрии $x=3$, ветви направлены вниз.

е) $y = -2(x + 3)^2$

Данное уравнение можно представить в виде $y = -2 \cdot (x - (-3))^2 + 0$.
Здесь $a = -2$, $h = -3$, $k = 0$.
Координаты вершины: $(-3, 0)$.
Ось симметрии: $x = -3$.
Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(-3, 0)$, ось симметрии $x=-3$, ветви направлены вниз.

ж) $y = (x - 2)^2 + 4$

Уравнение уже представлено в вершинной форме $y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 4$.
Здесь $a = 1$, $h = 2$, $k = 4$.
Координаты вершины: $(2, 4)$.
Ось симметрии: $x = 2$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(2, 4)$, ось симметрии $x=2$, ветви направлены вверх.

з) $y = -(x - 1)^2 + 1$

Уравнение уже представлено в вершинной форме $y = -1 \cdot (x - 1)^2 + 1$.
Здесь $a = -1$, $h = 1$, $k = 1$.
Координаты вершины: $(1, 1)$.
Ось симметрии: $x = 1$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(1, 1)$, ось симметрии $x=1$, ветви направлены вниз.

и) $y = -2(x + 1)^2 - 4$

Данное уравнение можно представить в виде $y = -2 \cdot (x - (-1))^2 - 4$.
Здесь $a = -2$, $h = -1$, $k = -4$.
Координаты вершины: $(-1, -4)$.
Ось симметрии: $x = -1$.
Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(-1, -4)$, ось симметрии $x=-1$, ветви направлены вниз.