Страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1034. Найдите все значения $x$, при которых имеют смысл выражения:

а) $\frac{1}{x}$;

б) $x$;

в) $\frac{1}{x-1}$;

г) $\frac{1}{x+12}$.

а)

Выражение $\frac{1}{x}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл (определено) только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель — это $x$.

Поэтому, чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие:

$x \ne 0$

Ответ: $x$ — любое число, кроме $0$.

б)

Выражение $x$ является целым выражением (одночленом). Оно не содержит операций деления на переменную. Такие выражения имеют смысл при любых действительных значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

в)

Выражение $\frac{1}{x-1}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель $x-1$ не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=1$.

Ответ: $x$ — любое число, кроме $1$.

г)

Выражение $\frac{1}{x+12}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель $x+12$ не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:

$x + 12 = 0$

$x = -12$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-12$.

Ответ: $x$ — любое число, кроме $-12$.

Найдите область определения функции (1035—1037):

1035. a) $y = \sqrt{x-7}$;

б) $y = 2 + \sqrt{12-x}$;

в) $y = \sqrt{1-3x}$;

г) $y = \frac{3}{\sqrt{2x+7}}$.

а) Для функции $y = \sqrt{x-7}$ область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$x - 7 \ge 0$

Прибавив 7 к обеим частям неравенства, получим:

$x \ge 7$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 7.

Ответ: $[7; +\infty)$

б) Для функции $y = 2 + \sqrt{12 - x}$ область определения зависит от выражения под знаком корня, так как слагаемое 2 определено для любого $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$12 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$12 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 12$.

Следовательно, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 12.

Ответ: $(-\infty; 12]$

в) Для функции $y = \sqrt{1 - 3x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$1 - 3x \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-3x \ge -1$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-3}$

$x \le \frac{1}{3}$

Таким образом, область определения — это все числа, меньшие или равные $\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}]$

г) Для функции $y = \frac{3}{\sqrt{2x + 7}}$ область определения определяется двумя условиями. Во-первых, выражение под корнем в знаменателе должно быть неотрицательным: $2x + 7 \ge 0$. Во-вторых, сам знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{2x + 7} \neq 0$, что равносильно $2x + 7 \neq 0$. Объединяя эти два условия ($2x + 7 \ge 0$ и $2x + 7 \neq 0$), получаем одно строгое неравенство:

$2x + 7 > 0$

Решим это неравенство. Перенесем 7 в правую часть:

$2x > -7$

Разделим обе части на 2:

$x > -\frac{7}{2}$

$x > -3,5$

Следовательно, область определения — это все числа, строго большие -3,5.

Ответ: $(-3,5; +\infty)$

1036. а) $y = \sqrt{x+1}$;

в) $y = \sqrt{x+\sqrt{x-1}};$

б) $y = \sqrt{3-2x};$

г) $y = \sqrt{3+4x}+\sqrt{7x-5}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x+1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x+1 \geq 0$

$x \geq -1$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные $-1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{3-2x}$, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$3-2x \geq 0$

$-2x \geq -3$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-2$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{3}{2}$

$x \leq 1.5$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, меньшие или равные $1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

в) Функция $y = \sqrt{x} + \sqrt{x-1}$ является суммой двух корней. Она определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$

Теперь необходимо найти пересечение решений $x \geq 0$ и $x \geq 1$. Поскольку любое число, которое больше или равно $1$, автоматически больше или равно $0$, решением системы будет более сильное неравенство $x \geq 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt{3+4x} + \sqrt{7x-5}$, как и в предыдущем случае, оба выражения под корнями должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3+4x \geq 0 \\ 7x-5 \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$3+4x \geq 0$

$4x \geq -3$

$x \geq -\frac{3}{4}$

Второе неравенство:

$7x-5 \geq 0$

$7x \geq 5$

$x \geq \frac{5}{7}$

Областью определения функции является пересечение решений этих двух неравенств: $x \geq -\frac{3}{4}$ и $x \geq \frac{5}{7}$. Так как $\frac{5}{7}$ (положительное число) больше, чем $-\frac{3}{4}$ (отрицательное число), то пересечением будет промежуток $x \geq \frac{5}{7}$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{7}; +\infty)$.

1037. a) $y = \frac{1}{x-5};$

б) $y = \frac{x}{x+6} - \frac{3x}{3-7x};$

в) $y = \sqrt{4-3x} + \frac{1}{2x};$

г) $y = \frac{x-5}{3x-1} + \sqrt{5-x};$

д) $y = \sqrt{2x-3};$

е) $y = \sqrt{3x+5};$

ж) $y = \sqrt{x^2-1};$

з) $y = \sqrt{x^2+5}.$

а) В функции $y = \frac{1}{x-5}$ присутствует деление на выражение, содержащее переменную. Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому мы должны найти значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключить их.

Условие: $x - 5 \neq 0$.

Решаем: $x \neq 5$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{x}{x+6} - \frac{3x}{3-7x}$ является разностью двух дробей. Область определения — это множество всех значений $x$, при которых оба знаменателя не равны нулю.

Условия:

1) $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$

2) $3-7x \neq 0 \Rightarrow -7x \neq -3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{7}$

Следовательно, из области определения нужно исключить точки $x=-6$ и $x=\frac{3}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \frac{3}{7}) \cup (\frac{3}{7}, +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt{4-3x} + \frac{1}{2x}$ состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для нахождения области определения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не был равен нулю.

Условия:

1) $4-3x \ge 0 \Rightarrow -3x \ge -4 \Rightarrow x \le \frac{4}{3}$

2) $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть меньше или равен $\frac{4}{3}$, но не равен 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}]$.

г) Функция $y = \frac{x-5}{3x-1} + \sqrt{5-x}$ содержит дробь и квадратный корень. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Условия:

1) $3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$

2) $5-x \ge 0 \Rightarrow -x \ge -5 \Rightarrow x \le 5$

Область определения — это все значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям, то есть $x \le 5$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 5]$.

д) В функции $y = \sqrt{2x-3}$ присутствует квадратный корень. Область определения функции определяется условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Условие: $2x-3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

е) В функции $y = \sqrt{3x+5}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Условие: $3x+5 \ge 0$.

Решаем неравенство: $3x \ge -5 \Rightarrow x \ge -\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}, +\infty)$.

ж) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 1}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

Условие: $x^2 - 1 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2-1=0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. График функции $f(x)=x^2-1$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $x \le -1$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Условие: $x^2 + 5 \ge 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$ ($x^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $x^2 + 5$ всегда будет больше или равна 5, а значит, всегда положительна.

Неравенство $x^2 + 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

1038. На рисунке 93 изображены парабола $y = ax^2 + bx + c$ и параллельные прямые $m$ и $l$, пересекающие параболу в точках $A$ и $B$, $C$ и $D$ соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $CD$, параллельна оси $Oy$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аналитическим методом.

Пусть парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$.

Прямые $m$ и $l$ параллельны, а значит, они имеют одинаковый угловой коэффициент. Обозначим этот коэффициент как $k$. Тогда уравнения этих прямых можно записать в виде:
Уравнение прямой $m$: $y = kx + d_1$
Уравнение прямой $l$: $y = kx + d_2$
где $d_1$ и $d_2$ — некоторые числа, причем $d_1 \neq d_2$, так как прямые различны.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой $m$ с параболой (точки A и B). Для этого решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:
$ax^2 + bx + c = kx + d_1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$ax^2 + (b-k)x + (c-d_1) = 0$
Пусть $x_A$ и $x_B$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек A и B.

Аналогично найдем абсциссы точек пересечения прямой $l$ с параболой (точки C и D):
$ax^2 + bx + c = kx + d_2$
$ax^2 + (b-k)x + (c-d_2) = 0$
Пусть $x_C$ и $x_D$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек C и D.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $N$ — середина отрезка $CD$. Абсцисса середины отрезка равна полусумме абсцисс его концов. Таким образом, абсциссы точек $M$ и $N$ равны:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2}$

Воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ сумма корней равна $-\frac{B}{A}$. Применим эту теорему к нашим двум уравнениям.
Для первого уравнения (пересечение с прямой $m$) сумма корней:
$x_A + x_B = -\frac{b-k}{a}$
Для второго уравнения (пересечение с прямой $l$) сумма корней:
$x_C + x_D = -\frac{b-k}{a}$

Теперь подставим эти суммы в формулы для абсцисс середин отрезков:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{b-k}{a} \right) = -\frac{b-k}{2a}$
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{b-k}{a} \right) = -\frac{b-k}{2a}$

Мы получили, что абсциссы середин отрезков $AB$ и $CD$ равны: $x_M = x_N$. Это означает, что точки $M$ и $N$ лежат на одной прямой, уравнение которой $x = -\frac{b-k}{2a}$.
Прямая, заданная уравнением вида $x = \text{const}$, является вертикальной. Ось $Oy$ также является вертикальной прямой (ее уравнение $x=0$). Следовательно, прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, параллельна оси $Oy$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Абсциссы середин хорд $AB$ и $CD$, высекаемых на параболе параллельными прямыми, равны между собой ($x_M = x_N = -\frac{b-k}{2a}$, где $b$ - коэффициент при $x$ в уравнении параболы, а $k$ - угловой коэффициент прямых). Следовательно, прямая, соединяющая эти середины, является вертикальной и параллельной оси $Oy$.

1039. На рисунке 94 изображены графики двух квадратичных функций, обозначенных $y_1(x)$ и $y_2(x)$. При каких $x$ выполняется неравенство:

а) $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$;

б) $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$?

Рис. 93

Рис. 94

Для решения задачи проанализируем знаки функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на различных промежутках, используя их графики, представленные на рисунке 94.

Из графика функции $y_1(x)$ (парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Ox в точках -6 и -1) можно сделать следующие выводы о ее знаках:

• $y_1(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty)$;
• $y_1(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-6; -1)$;
• $y_1(x) = 0$ при $x = -6$ и $x = -1$.

Из графика функции $y_2(x)$ (парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Ox в точках -1 и 4) можно сделать следующие выводы о ее знаках:

• $y_2(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$;
• $y_2(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-1; 4)$;
• $y_2(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 4$.

а) $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$

Неравенство $y_1(x) \cdot y_2(x) > 0$ выполняется, когда обе функции имеют одинаковые знаки, то есть когда они обе положительны или обе отрицательны.

Случай 1: Обе функции положительны, то есть $y_1(x) > 0$ и $y_2(x) > 0$.

Для этого необходимо найти пересечение интервалов, на которых каждая функция положительна:

$( (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) )$.

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(-\infty; -6)$ и $(4; +\infty)$.

Случай 2: Обе функции отрицательны, то есть $y_1(x) < 0$ и $y_2(x) < 0$.

Для этого необходимо найти пересечение интервалов, на которых каждая функция отрицательна:

$(-6; -1) \cap (-1; 4)$.

Эти интервалы не имеют общих точек, их пересечение — пустое множество.

Объединив решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (4; +\infty)$.

б) $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$

Неравенство $\frac{y_2(x)}{y_1(x)} < 0$ выполняется, когда функции имеют противоположные знаки. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $y_1(x) \neq 0$, а значит $x \neq -6$ и $x \neq -1$.

Случай 1: $y_2(x) > 0$ и $y_1(x) < 0$.

Находим пересечение соответствующих интервалов:

$( (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) ) \cap (-6; -1)$.

Пересечением является интервал $(-6; -1)$.

Случай 2: $y_2(x) < 0$ и $y_1(x) > 0$.

Находим пересечение соответствующих интервалов:

$(-1; 4) \cap ( (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty) )$.

Пересечением является интервал $(-1; 4)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-6; -1) \cup (-1; 4)$.

Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (-1; 4)$.