Номер 1035, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите область определения функции (1035—1037):

1035. a) $y = \sqrt{x-7}$;

б) $y = 2 + \sqrt{12-x}$;

в) $y = \sqrt{1-3x}$;

г) $y = \frac{3}{\sqrt{2x+7}}$.

а) Для функции $y = \sqrt{x-7}$ область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$x - 7 \ge 0$

Прибавив 7 к обеим частям неравенства, получим:

$x \ge 7$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 7.

Ответ: $[7; +\infty)$

б) Для функции $y = 2 + \sqrt{12 - x}$ область определения зависит от выражения под знаком корня, так как слагаемое 2 определено для любого $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$12 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$12 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 12$.

Следовательно, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 12.

Ответ: $(-\infty; 12]$

в) Для функции $y = \sqrt{1 - 3x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$1 - 3x \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-3x \ge -1$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-3}$

$x \le \frac{1}{3}$

Таким образом, область определения — это все числа, меньшие или равные $\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}]$

г) Для функции $y = \frac{3}{\sqrt{2x + 7}}$ область определения определяется двумя условиями. Во-первых, выражение под корнем в знаменателе должно быть неотрицательным: $2x + 7 \ge 0$. Во-вторых, сам знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{2x + 7} \neq 0$, что равносильно $2x + 7 \neq 0$. Объединяя эти два условия ($2x + 7 \ge 0$ и $2x + 7 \neq 0$), получаем одно строгое неравенство:

$2x + 7 > 0$

Решим это неравенство. Перенесем 7 в правую часть:

$2x > -7$

Разделим обе части на 2:

$x > -\frac{7}{2}$

$x > -3,5$

Следовательно, область определения — это все числа, строго большие -3,5.

Ответ: $(-3,5; +\infty)$