Номер 1042, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1042. Используя графики функций, определите число корней уравнения:

а) $x^3 = x^2$;

б) $x^3 = x^4$;

в) $x^4 = x^2 - 4$;

г) $x^3 - 1 = x^2$.

а) Для того чтобы определить число корней уравнения $x^3 = x^2$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x^2$ (парабола). График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$, так как $0^3 = 0^2$ и $1^3 = 1^2$. При $x < 0$ значения функции $y = x^3$ отрицательны, а $y = x^2$ — положительны, поэтому других пересечений слева от оси ординат нет. При $x > 1$ кубическая парабола растет быстрее параболы ($x^3 > x^2$), а при $0 < x < 1$ — наоборот ($x^3 < x^2$), поэтому других пересечений также нет. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

б) Чтобы определить число корней уравнения $x^3 = x^4$, построим графики функций $y = x^3$ и $y = x^4$. График $y = x^3$ — кубическая парабола. График $y = x^4$ — четная функция, ее график симметричен относительно оси ординат, проходит через точку $(0, 0)$ и похож на параболу, но более "плоский" у вершины. Оба графика проходят через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, что соответствует корням $x=0$ и $x=1$. При $x < 0$ функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения, а $y = x^4$ — положительные, поэтому пересечений в этой области нет. При $x > 1$ значения $x^4$ больше значений $x^3$, а при $0 < x < 1$ — наоборот, $x^3 > x^4$. Таким образом, существует ровно две точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

в) Для определения числа корней уравнения $x^4 = x^2 - 4$ рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = x^2 - 4$. График $y = x^4$ — кривая, расположенная в верхней полуплоскости, с минимальным значением $y=0$ в точке $x=0$. График $y = x^2 - 4$ — это парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси ординат. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$. Минимальное значение функции $y = x^4$ равно 0. Максимальное значение функции $y = x^2 - 4$ не ограничено, но все ее значения меньше значений $y=x^4$ для тех же $x$. Чтобы убедиться в отсутствии пересечений, рассмотрим разность функций: $x^4 - (x^2 - 4) = x^4 - x^2 + 4$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$. Получим квадратное выражение $t^2 - t + 4$. Дискриминант этого трехчлена равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $t^2$ положителен, выражение $t^2 - t + 4$ всегда положительно. Это означает, что $x^4 > x^2 - 4$ для всех действительных $x$. Таким образом, графики функций не пересекаются. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0

г) Преобразуем уравнение $x^3 - 1 = x^2$ к виду $x^3 = x^2 + 1$. Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = x^2 + 1$. График $y = x^3$ — кубическая парабола. График $y = x^2 + 1$ — это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$, и все ее значения не меньше 1. При $x \leq 0$, значения $y = x^3$ неположительны ($y \leq 0$), а значения $y = x^2 + 1$ не меньше единицы ($y \geq 1$), поэтому пересечений в этой области нет. При $x > 0$ обе функции возрастают. При $x=1$ имеем $y=x^3=1$ и $y=x^2+1=2$. При $x=2$ имеем $y=x^3=8$ и $y=x^2+1=5$. Так как при $x=1$ график параболы выше, а при $x=2$ — ниже графика кубической параболы, и обе функции непрерывны, то где-то между $x=1$ и $x=2$ графики должны пересечься. Поскольку при $x > 2/3$ функция $y=x^3$ растет быстрее, чем $y=x^2+1$, больше пересечений не будет. Таким образом, существует только одна точка пересечения. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1