Номер 1043, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Используя графики функций, решите неравенство (1043–1044):

1043. a) $\frac{1}{x} > 0;$

б) $\frac{1}{x} < 0;$

в) $-\frac{2}{x} > 0;$

г) $-\frac{4}{x} < 0;$

д) $\frac{1}{x} > 1;$

е) $\frac{1}{x} < 2;$

ж) $\frac{2}{x} > 3;$

з) $-\frac{2}{x} > 3.$

а) $\frac{1}{x} > 0$

Для решения этого неравенства графическим методом рассмотрим две функции: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 0$. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox). Нам нужно найти те значения $x$, при которых график функции $y = \frac{1}{x}$ находится выше оси Ox.

Глядя на график, мы видим, что значения функции $y = \frac{1}{x}$ положительны (то есть $y > 0$) в первой координатной четверти. Это соответствует всем положительным значениям $x$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

б) $\frac{1}{x} < 0$

Рассмотрим те же функции, что и в предыдущем пункте: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 0$. В данном случае нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = \frac{1}{x}$ находится ниже оси Ox.

Анализируя график гиперболы $y = \frac{1}{x}$, мы видим, что её значения отрицательны ($y < 0$) в третьей координатной четверти. Это происходит при всех отрицательных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

в) $-\frac{2}{x} > 0$

Рассмотрим функцию $y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, коэффициент $k = -2$ отрицателен, поэтому её ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Нам нужно определить, при каких значениях $x$ график этой функции находится выше оси Ox ($y > 0$).

Ветвь гиперболы во второй четверти соответствует отрицательным значениям $x$ и положительным значениям $y$. Ветвь в четвертой четверти соответствует положительным $x$ и отрицательным $y$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из второй четверти.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

г) $-\frac{4}{x} < 0$

Рассмотрим функцию $y = -\frac{4}{x}$. Как и в предыдущем примере, это гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях ($k = -4 < 0$). Нам нужно найти, при каких $x$ график этой функции лежит ниже оси Ox ($y < 0$).

Из расположения ветвей следует, что значения функции отрицательны в четвертой координатной четверти. Это соответствует всем положительным значениям $x$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

д) $\frac{1}{x} > 1$

Для решения этого неравенства сравним графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$. График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола в I и III четвертях, а график $y = 1$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1)$. Нам нужно найти те $x$, при которых график гиперболы находится выше прямой $y=1$.

Сначала найдем точку их пересечения: $\frac{1}{x} = 1$, откуда $x = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Ветвь гиперболы в III четверти всегда лежит ниже оси Ox, а значит, и ниже прямой $y=1$. Ветвь в I четверти является убывающей. Она находится выше прямой $y=1$ на промежутке от оси Oy до точки пересечения, то есть при $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$

е) $\frac{1}{x} < 2$

Сравним графики функций $y = \frac{1}{x}$ (гипербола в I и III четвертях) и $y = 2$ (горизонтальная прямая). Нам нужно найти $x$, при которых гипербола находится ниже прямой $y=2$.

Найдем точку пересечения: $\frac{1}{x} = 2$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{2}, 2)$.

Рассмотрим два случая:

1. Ветвь в I четверти ($x > 0$). Так как функция $y=\frac{1}{x}$ здесь убывает, ее график будет ниже прямой $y=2$ справа от точки пересечения, то есть при $x > \frac{1}{2}$.

2. Ветвь в III четверти ($x < 0$). Здесь все значения функции $y=\frac{1}{x}$ отрицательны, поэтому они заведомо меньше 2. Таким образом, вся левая ветвь гиперболы удовлетворяет неравенству. Это соответствует промежутку $x < 0$.

Объединяя оба случая, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$

ж) $\frac{2}{x} > 3$

Сравним графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 3$. График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола в I и III четвертях, а $y = 3$ — горизонтальная прямая. Ищем значения $x$, при которых график гиперболы выше прямой.

Найдем точку пересечения: $\frac{2}{x} = 3$, откуда $3x=2$, $x = \frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{2}{3}, 3)$.

Ветвь в III четверти ($x < 0$) имеет отрицательные значения, поэтому не может быть больше 3. Ветвь в I четверти ($x > 0$) убывает. Она находится выше прямой $y=3$ левее точки пересечения, то есть на интервале от 0 до $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

з) $-\frac{2}{x} > 3$

Сравним графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = 3$. График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола во II и IV четвертях, $y = 3$ — горизонтальная прямая. Ищем $x$, при которых гипербола выше прямой.

Найдем точку пересечения: $-\frac{2}{x} = 3$, откуда $3x=-2$, $x = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(-\frac{2}{3}, 3)$.

Ветвь в IV четверти ($x > 0$) имеет отрицательные значения и не может быть больше 3. Ветвь во II четверти ($x < 0$) является возрастающей. Она находится выше прямой $y=3$ справа от точки пересечения, то есть на интервале от $-\frac{2}{3}$ до 0.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; 0)$