Номер 1045, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1045. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|x^3|}{x^2}$;

б) $y = \frac{x^2}{|x^3|}$;

в) $y = x^4 + 1$;

г) $y = x^3 - 1$.

а) $y = \frac{|x^3|}{x^2}$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Упростим выражение для функции. Воспользуемся свойствами модуля и степени: $|x^3| = |x|^3$ и $x^2 = |x|^2$ (поскольку $x^2$ всегда неотрицательно).

Тогда функцию можно переписать в виде: $y = \frac{|x|^3}{|x|^2}$

При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь: $y = |x|$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x|$, исключив из него точку, где $x=0$.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей:

• $y = x$ при $x > 0$ (биссектриса первого координатного угла).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).

Поскольку $x \neq 0$, точка $(0,0)$ не принадлежит графику. На графике эта точка изображается как выколотая (пустой кружок).

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей: $y=x$ для $x>0$ и $y=-x$ для $x<0$. Это график функции $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

б) $y = \frac{x^2}{|x^3|}$

Область определения функции: знаменатель $|x^3|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Упростим выражение. Как и в предыдущем пункте, используем $x^2 = |x|^2$ и $|x^3| = |x|^3$. $y = \frac{|x|^2}{|x|^3}$

При $x \neq 0$ сокращаем дробь: $y = \frac{1}{|x|}$

Раскроем модуль, чтобы построить график:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{-x}$ или $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.

График симметричен относительно оси OY, так как функция $y = \frac{1}{|x|}$ является четной. Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось OX ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x|}$. Он состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях и симметричных относительно оси OY.

в) $y = x^4 + 1$

Данная функция является степенной функцией. Ее график можно получить из графика базовой функции $y = x^4$ с помощью преобразования.

1. Строим график функции $y = x^4$. Это кривая, похожая на параболу $y=x^2$, но более "плоская" у вершины и круче поднимающаяся при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси OY (так как функция четная) и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. Преобразование "+1" означает сдвиг (параллельный перенос) всего графика $y = x^4$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

В результате сдвига:

• Вершина из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, 1)$.
• Точка $(-1, 1)$ переместится в точку $(-1, 2)$.
• Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 2)$.

Симметрия относительно оси OY сохранится.

Ответ: График функции получается из графика $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Это кривая, симметричная относительно оси OY, с точкой минимума (вершиной) в $(0, 1)$.

г) $y = x^3 - 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) с помощью преобразования.

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$, которое является для нее точкой перегиба. График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная) и проходит через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2. Преобразование "-1" означает сдвиг (параллельный перенос) всего графика $y = x^3$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

В результате сдвига:

• Точка перегиба из $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$. Это также будет точка пересечения с осью OY.
• Точка $(-1, -1)$ переместится в точку $(-1, -2)$.
• Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 0)$. Это будет точка пересечения с осью OX.

Форма кубической параболы сохраняется.

Ответ: График функции получается из графика кубической параболы $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси OY. График пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$ и ось абсцисс в точке $(1, 0)$.