Номер 1049, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1049. Покажите при помощи графика, что уравнение $x^2 - 2x + t = 0$:
а) при любом $t < 0$ имеет два действительных корня разных знаков, при этом абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;
б) при любом $0 < t < 1$ имеет два различных положительных корня;
в) при любом $t > 1$ не имеет действительных корней.

Для решения задачи графическим методом преобразуем исходное уравнение $x^2 - 2x + t = 0$ к виду $x^2 - 2x = -t$.

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика квадратичной функции $y = x^2 - 2x$ и графика линейной функции $y = -t$.

Построим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $y = 0$, то есть $x^2 - 2x = 0$, $x(x-2)=0$. Отсюда точки пересечения $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График функции $y = -t$ — это прямая, параллельная оси Ox.

Проанализируем взаимное расположение этих двух графиков в зависимости от значения параметра $t$.

а) при любом t < 0 имеет два действительных корня разных знаков, при этом абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;

Если $t < 0$, то $-t > 0$. Это означает, что горизонтальная прямая $y = -t$ расположена выше оси Ox. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x$ уходят в бесконечность, прямая $y = -t$ обязательно пересечет параболу в двух точках. Обозначим абсциссы этих точек $x_1$ и $x_2$.

Поскольку точки пересечения параболы с осью Ox это $(0,0)$ и $(2,0)$, а прямая $y = -t$ находится выше оси Ox, одна точка пересечения будет на левой ветви параболы, где $x < 0$, а другая — на правой, где $x > 2$. Таким образом, один корень $x_1$ будет отрицательным, а другой корень $x_2$ — положительным. Значит, уравнение имеет два действительных корня разных знаков.

Теперь сравним их абсолютные величины. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Точки пересечения $(x_1, -t)$ и $(x_2, -t)$ симметричны относительно этой прямой. Следовательно, их абсциссы удовлетворяют условию $\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$, или $x_1 + x_2 = 2$.

Так как $x_1 < 0$ и $x_2 > 0$, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = x_2$. Из равенства $x_1 + x_2 = 2$ следует, что $x_2 = 2 - x_1 = 2 + (-x_1) = 2 + |x_1|$. Поскольку $|x_1| > 0$, то $x_2 > |x_1|$, что и означает, что $|x_2| > |x_1|$. Таким образом, абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня.

Ответ: Утверждение доказано.

б) при любом 0 < t < 1 имеет два различных положительных корня;

Если $0 < t < 1$, то $-1 < -t < 0$. В этом случае горизонтальная прямая $y = -t$ расположена ниже оси Ox, но выше вершины параболы, которая находится в точке $(1, -1)$.

Поскольку прямая $y = -t$ проходит между осью Ox и вершиной параболы, она пересечет параболу в двух точках. Обе точки пересечения будут находиться на участке параболы, расположенном под осью Ox. Этот участок соответствует значениям $x$ между $0$ и $2$. Следовательно, абсциссы точек пересечения $x_1$ и $x_2$ будут удовлетворять неравенствам $0 < x_1 < 2$ и $0 < x_2 < 2$, причем $x_1 \ne x_2$.

Таким образом, уравнение имеет два различных положительных корня.

Ответ: Утверждение доказано.

в) при любом t > 1 не имеет действительных корней.

Если $t > 1$, то $-t < -1$. Горизонтальная прямая $y = -t$ расположена ниже вершины параболы $(1, -1)$.

Минимальное значение функции $y = x^2 - 2x$ равно $-1$ и достигается в вершине. Поскольку вся парабола лежит выше или на уровне $y=-1$, а прямая $y = -t$ проходит ниже этого уровня, у графиков нет точек пересечения.

Следовательно, уравнение $x^2 - 2x = -t$ не имеет действительных решений, а значит, и исходное уравнение $x^2 - 2x + t = 0$ не имеет действительных корней.

Ответ: Утверждение доказано.