Номер 1053, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1053. a) $\begin{cases} xy = -6, \\ y = -x^2 + 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ xy = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = -6 \\ y = -x^2 + 5 \end{cases} $$ Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $$ x(-x^2 + 5) = -6 $$ Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $$ -x^3 + 5x = -6 $$ $$ x^3 - 5x - 6 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение относительно переменной $x$. Решения этого уравнения будут являться x-координатами решений системы.

Попробуем найти целые корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -6. Возможные целые корни: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 $.

Проверим эти значения:

• При $x=1$: $1^3 - 5(1) - 6 = 1 - 5 - 6 = -10 \neq 0$
• При $x=-1$: $(-1)^3 - 5(-1) - 6 = -1 + 5 - 6 = -2 \neq 0$
• При $x=2$: $2^3 - 5(2) - 6 = 8 - 10 - 6 = -8 \neq 0$
• При $x=-2$: $(-2)^3 - 5(-2) - 6 = -8 + 10 - 6 = -4 \neq 0$
• При $x=3$: $3^3 - 5(3) - 6 = 27 - 15 - 6 = 6 \neq 0$
• При $x=-3$: $(-3)^3 - 5(-3) - 6 = -27 + 15 - 6 = -18 \neq 0$

Целых корней у уравнения нет. Чтобы определить количество действительных корней, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 5x - 6$ с помощью производной.

Найдем производную: $$ f'(x) = 3x^2 - 5 $$ Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $$ 3x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} $$ Найдем значения функции в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$: $f(-\sqrt{\frac{5}{3}}) = (-\sqrt{\frac{5}{3}})^3 - 5(-\sqrt{\frac{5}{3}}) - 6 = -\frac{5}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} + 5\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 = \frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 6$. Так как $ (\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}})^2 = \frac{100}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{500}{27} \approx 18.5 $, а $6^2 = 36$, то $\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} < 6$, следовательно, значение в точке максимума отрицательно.
• Локальный минимум в точке $x = \sqrt{\frac{5}{3}}$: $f(\sqrt{\frac{5}{3}}) = (\sqrt{\frac{5}{3}})^3 - 5(\sqrt{\frac{5}{3}}) - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 5\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 = -\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 < 0$.

Поскольку оба экстремума функции отрицательны, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$, то кубическое уравнение имеет только один действительный корень. Найдем отрезок, на котором находится этот корень: $$ f(2) = 2^3 - 5(2) - 6 = 8 - 10 - 6 = -8 $$ $$ f(3) = 3^3 - 5(3) - 6 = 27 - 15 - 6 = 6 $$ Так как на концах отрезка $[2, 3]$ функция принимает значения разных знаков, единственный корень $x_0$ находится на этом отрезке: $2 < x_0 < 3$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - иррациональный корень уравнения $x^3 - 5x - 6 = 0$, а $y_0 = -x_0^2 + 5$. Найти точное значение корня можно с помощью специальных формул (например, Кардано), что выходит за рамки школьной программы.

Ответ: система имеет одно действительное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - единственный действительный корень уравнения $x^3 - 5x - 6 = 0$, $x_0 \approx 2.68$, $y_0 = -6/x_0 \approx -2.24$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x^2 - 4 \\ xy = 4 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $$ x(x^2 - 4) = 4 $$ Раскроем скобки и преобразуем: $$ x^3 - 4x = 4 $$ $$ x^3 - 4x - 4 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение. Его действительные корни будут x-координатами решений системы.

Проверим, есть ли у уравнения целые корни. Возможные целые корни - делители свободного члена -4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4 $.

• При $x=1$: $1^3 - 4(1) - 4 = 1 - 4 - 4 = -7 \neq 0$
• При $x=-1$: $(-1)^3 - 4(-1) - 4 = -1 + 4 - 4 = -1 \neq 0$
• При $x=2$: $2^3 - 4(2) - 4 = 8 - 8 - 4 = -4 \neq 0$
• При $x=-2$: $(-2)^3 - 4(-2) - 4 = -8 + 8 - 4 = -4 \neq 0$

Целых корней нет. Исследуем функцию $h(x) = x^3 - 4x - 4$ на количество действительных корней.

Найдем производную: $$ h'(x) = 3x^2 - 4 $$ Точки экстремума: $$ 3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} $$ Найдем значения функции в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$: $h(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = (-\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(-\frac{2}{\sqrt{3}}) - 4 = -\frac{8}{3\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} - 4 = \frac{16}{3\sqrt{3}} - 4$. Так как $(\frac{16}{3\sqrt{3}})^2 = \frac{256}{27} \approx 9.48$, а $4^2 = 16$, то $\frac{16}{3\sqrt{3}} < 4$. Значение в точке максимума отрицательно.
• Локальный минимум в точке $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$: $h(\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(\frac{2}{\sqrt{3}}) - 4 = \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} - 4 = -\frac{16}{3\sqrt{3}} - 4 < 0$.

Оба экстремума отрицательны. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ только один раз. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень. Найдем отрезок, содержащий этот корень: $$ h(2) = 2^3 - 4(2) - 4 = 8 - 8 - 4 = -4 $$ $$ h(3) = 3^3 - 4(3) - 4 = 27 - 12 - 4 = 11 $$ Единственный корень $x_0$ находится на отрезке $[2, 3]$.

Система имеет единственное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - иррациональный корень уравнения $x^3 - 4x - 4 = 0$, а $y_0 = 4/x_0$.

Ответ: система имеет одно действительное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - единственный действительный корень уравнения $x^3 - 4x - 4 = 0$, $x_0 \approx 2.21$, $y_0 = 4/x_0 \approx 1.81$.