Номер 1058, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1058. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{x + 2}{x^2 + 2x}$;

б) $y = \frac{6(x - 3)}{x^2 - 3x}$.

При каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с построенным графиком ни одной общей точки?

а)

1. Чтобы построить график функции $y = -\frac{x+2}{x^2+2x}$, сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^2+2x \neq 0$

$x(x+2) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим формулу функции для всех $x$ из области определения:

$y = -\frac{x+2}{x(x+2)} = -\frac{1}{x}$.

Это означает, что график исходной функции является графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ с "выколотой" точкой при $x = -2$.

3. Графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ является гипербола. Ее ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (вертикальная асимптота) и прямая $y=0$ (горизонтальная асимптота).

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x=-2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{x}$:

$y = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, точка с координатами $(-2; \frac{1}{2})$ не принадлежит графику.

5. Теперь найдем значения $m$, при которых прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия. Она не пересечет график в двух случаях:

• Если она совпадает с горизонтальной асимптотой графика, то есть $y=0$. В этом случае $m=0$.
• Если она проходит через "выколотую" точку. Ордината этой точки равна $\frac{1}{2}$. Значит, прямая $y=\frac{1}{2}$ не имеет с графиком общих точек. В этом случае $m=\frac{1}{2}$.

Ответ: $m=0; m=\frac{1}{2}$.

б)

1. Чтобы построить график функции $y = \frac{6(x-3)}{x^2-3x}$, найдем ее область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2-3x \neq 0$

$x(x-3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции в ее области определения:

$y = \frac{6(x-3)}{x(x-3)} = \frac{6}{x}$.

Таким образом, график исходной функции — это график функции $y = \frac{6}{x}$ с "выколотой" точкой при $x=3$.

3. Графиком функции $y = \frac{6}{x}$ является гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (вертикальная асимптота) и прямая $y=0$ (горизонтальная асимптота).

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x=3$ в упрощенную функцию $y = \frac{6}{x}$:

$y = \frac{6}{3} = 2$.

Значит, точка с координатами $(3; 2)$ не принадлежит графику.

5. Прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек, если она проходит через горизонтальную асимптоту или через "выколотую" точку.

• Горизонтальная асимптота графика — это прямая $y=0$. Следовательно, при $m=0$ пересечения нет.
• Прямая $y=m$ проходит через "выколотую" точку, если ее ордината совпадает с ординатой этой точки, то есть $m=2$.

Ответ: $m=0; m=2$.