Номер 1055, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1055. a) $\begin{cases} y = 2x^2 - 1, \\ y = -x^2 - 3x - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 5x + 4, \\ y = -x^2 + 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2x^2 - 1, \\ y = -x^2 - 3x - 2 \end{cases}$

Для нахождения точек пересечения графиков функций, которые представляют собой параболы, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:

$2x^2 - 1 = -x^2 - 3x - 2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + x^2 + 3x - 1 + 2 = 0$

$3x^2 + 3x + 1 = 0$

Для решения этого уравнения вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что параболы не пересекаются, и, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 + 5x + 4, \\ y = -x^2 + 6 \end{cases}$

Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений для нахождения абсцисс точек пересечения:

$x^2 + 5x + 4 = -x^2 + 6$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + x^2 + 5x + 4 - 6 = 0$

$2x^2 + 5x - 2 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41$

Дискриминант положителен ($D > 0$), поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4}$

Таким образом, мы имеем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в одно из исходных уравнений. Удобнее использовать второе: $y = -x^2 + 6$.

Для $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}$:

$y_1 = - \left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 6 = - \frac{(-5)^2 + 2(-5)\sqrt{41} + (\sqrt{41})^2}{16} + 6$

$y_1 = - \frac{25 - 10\sqrt{41} + 41}{16} + 6 = - \frac{66 - 10\sqrt{41}}{16} + \frac{96}{16}$

$y_1 = \frac{-66 + 10\sqrt{41} + 96}{16} = \frac{30 + 10\sqrt{41}}{16} = \frac{15 + 5\sqrt{41}}{8}$

Для $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}$:

$y_2 = - \left(\frac{-5 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 6 = - \frac{(-(5 + \sqrt{41}))^2}{16} + 6 = - \frac{25 + 10\sqrt{41} + 41}{16} + 6$

$y_2 = - \frac{66 + 10\sqrt{41}}{16} + \frac{96}{16} = \frac{-66 - 10\sqrt{41} + 96}{16} = \frac{30 - 10\sqrt{41}}{16} = \frac{15 - 5\sqrt{41}}{8}$

Таким образом, система имеет два решения, которые являются координатами точек пересечения графиков.

Ответ: $(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}; \frac{15 + 5\sqrt{41}}{8})$, $(\frac{-5 - \sqrt{41}}{4}; \frac{15 - 5\sqrt{41}}{8})$.