Номер 1054, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1054. a) $\begin{cases} y = x^2 - 2x - 3, \\ y = |x - 1|; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 + 5x - 6, \\ y = |x + 1|. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x - 3$ и $y = |x - 1|$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 2x - 3 = |x - 1|$

Это уравнение необходимо решить, рассмотрев два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x - 1| = x - 1$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = x - 1$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 1$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{3 + 4}{2} = 3.5$. Этот корень удовлетворяет условию ($x_1 \ge 1$).

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < \frac{3 - 4}{2} = -0.5$. Этот корень не удовлетворяет условию.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ для $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$, подставив его в одно из исходных уравнений, например, в $y = |x - 1|$. Так как $x_1 \ge 1$, то $y = x - 1$:

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} - 1 = \frac{3 + \sqrt{17} - 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Первая точка пересечения: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = 1 - x$

$x^2 - x - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 1$:

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > \frac{1 + 4}{2} = 2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию.

$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} < \frac{1 - 4}{2} = -1.5$. Этот корень удовлетворяет условию ($x_4 < 1$).

Найдем соответствующее значение $y$ для $x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $x_4 < 1$, то $y = -(x-1) = 1 - x$:

$y_4 = 1 - \frac{1 - \sqrt{17}}{2} = \frac{2 - (1 - \sqrt{17})}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Вторая точка пересечения: $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

Ответ: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$, $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Решим систему уравнений, приравняв правые части:

$-x^2 + 5x - 6 = |x + 1|$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

В этом случае $|x + 1| = x + 1$, и уравнение принимает вид:

$-x^2 + 5x - 6 = x + 1$

$-x^2 + 4x - 7 = 0$

$x^2 - 4x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. В этом случае решений нет.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.

В этом случае $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$, и уравнение принимает вид:

$-x^2 + 5x - 6 = -x - 1$

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти разложением на множители:

$(x - 1)(x - 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < -1$:

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 \not< -1$.

Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию, так как $5 \not< -1$.

В этом случае также нет подходящих решений.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли решений, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.