Номер 1046, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1046. Докажите, что функция $y = -x^3$ является убывающей.

Чтобы доказать, что функция $y = -x^3$ является убывающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Областью определения функции $y = -x^3$ является вся числовая прямая, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из области определения, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$.

Соответствующие им значения функции равны: $y_1 = y(x_1) = -x_1^3$ и $y_2 = y(x_2) = -x_2^3$.

Сравним $y_1$ и $y_2$, рассмотрев их разность $y_1 - y_2$:
$y_1 - y_2 = (-x_1^3) - (-x_2^3) = -x_1^3 + x_2^3 = x_2^3 - x_1^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $x_2^3 - x_1^3$:
$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$. Так как по нашему предположению $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной: $x_2 - x_1 > 0$.
2. Множитель $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$. Это выражение является неполным квадратом суммы. Чтобы определить его знак, преобразуем его, выделив полный квадрат:
   $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 = \left(x_2 + \frac{x_1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}x_1^2$.
   Сумма квадрата $\left(x_2 + \frac{x_1}{2}\right)^2$ и выражения $\frac{3}{4}x_1^2$ может быть равна нулю только если оба слагаемых равны нулю, то есть при $x_1 = 0$ и $x_2 + \frac{x_1}{2} = 0$, что означает $x_1=0$ и $x_2=0$. Это противоречит исходному условию $x_1 < x_2$. Следовательно, при $x_1 < x_2$ выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ всегда строго положительно.

Поскольку оба множителя $(x_2 - x_1)$ и $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ положительны, их произведение также положительно:
$x_2^3 - x_1^3 > 0$.

Следовательно, разность $y_1 - y_2 = x_2^3 - x_1^3$ также положительна, то есть $y_1 - y_2 > 0$.
Отсюда получаем $y_1 > y_2$.

Итак, мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y = -x^3$ является убывающей на всей своей области определения.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью производной. Производная функции $y = -x^3$ равна $y' = (-x^3)' = -3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y' = -3x^2 \le 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Поскольку производная функции неположительна на всей числовой прямой (и не равна тождественно нулю ни на каком интервале), функция является убывающей.

Ответ: Было доказано, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$, следовательно, функция $y = -x^3$ является убывающей.