Номер 1044, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1044. а) $x^3 > x;$

б) $x^2 < x^5;$

в) $x^4 > x^2;$

г) $\frac{1}{x} > x^2 - 4;$

д) $\frac{1}{x} < x;$

е) $x > \frac{1}{x} - 3.$

а) $x^3 > x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^3 - x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x(x - 1)(x + 1) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-1)(x+1)$ на каждом интервале.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2+1) = 6 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5+1) = -0.375 < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $-0.5(-0.5-1)(-0.5+1) = 0.375 > 0$. Знак "+".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $-2(-2-1)(-2+1) = -6 < 0$. Знак "-".

Поскольку знак неравенства ">", мы выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $x^2 < x^5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить положительный старший коэффициент:

$x^5 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^3 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности кубов:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

• Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Так как неравенство строгое, $x^2$ не может быть равно нулю, следовательно $x \neq 0$. При $x \neq 0$, множитель $x^2$ всегда положителен.
• Множитель $(x^2 + x + 1)$ является квадратным трехчленом. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент ($1$) положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Поскольку $x^2 > 0$ (при $x \neq 0$) и $x^2 + x + 1 > 0$, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x - 1)$. Неравенство сводится к следующему:

$x - 1 > 0$ и $x \neq 0$

Решая $x - 1 > 0$, получаем $x > 1$. Это решение удовлетворяет условию $x \neq 0$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

в) $x^4 > x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^4 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) > 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x^2(x - 1)(x + 1) > 0$

Множитель $x^2 \ge 0$. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. При этом условии $x^2$ всегда положителен, и мы можем разделить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = (x-1)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это решение не содержит $x=0$, поэтому дополнительное условие $x \neq 0$ выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

г) $\frac{1}{x} > x^2 - 4$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - x^2 + 4 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - x(x^2 - 4)}{x} > 0$

$\frac{1 - x^3 + 4x}{x} > 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы старший коэффициент в числителе стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^3 - 4x - 1}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки — это корень знаменателя $x = 0$ и корни числителя, то есть решения уравнения $x^3 - 4x - 1 = 0$. У этого кубического уравнения нет простых рациональных корней. Обозначим его действительные корни как $x_1, x_2, x_3$. С помощью численных методов или анализа графика функции $f(x) = x^3 - 4x - 1$ можно установить, что у уравнения три действительных корня, примерно равные $x_1 \approx -1.86$, $x_2 \approx -0.25$ и $x_3 \approx 2.11$.

Расположим критические точки на числовой прямой в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < 0 < x_3$. Эти точки разбивают прямую на интервалы. Определим знак выражения $\frac{x^3 - 4x - 1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > x_3$ (например, $x=3$): $\frac{3^3 - 4 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{14}{3} > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < x_3$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 4 \cdot 1 - 1}{1} = -4 < 0$. Знак "-".
• При $x_2 < x < 0$ (например, $x=-0.1$): числитель $ (-0.1)^3 - 4(-0.1) - 1 \approx -0.6 < 0 $, знаменатель $ -0.1 < 0$. Результат $\frac{-}{-} > 0$. Знак "+".
• При $x_1 < x < x_2$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 4(-1) - 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".
• При $x < x_1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-2)^3 - 4(-2) - 1}{-2} = \frac{-1}{-2} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (x_1, x_2) \cup (0, x_3)$, где $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 - 4x - 1 = 0$ ($x_1 < x_2 < x_3$).

д) $\frac{1}{x} < x$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем $x$ в левую часть:

$\frac{1}{x} - x < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - x^2}{x} < 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(1 - x)(1 + x)}{x} < 0$

Используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Определим знак выражения на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(1-2)(1+2)}{2} = \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(1-0.5)(1+0.5)}{0.5} = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{(1-(-0.5))(1-0.5)}{-0.5} = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(1-(-2))(1-2)}{-2} = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство "меньше нуля".

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

е) $x > \frac{1}{x} - 3$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть:

$x - \frac{1}{x} + 3 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 1 + 3x}{x} > 0$

$\frac{x^2 + 3x - 1}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Критические точки: корень знаменателя $x=0$ и корни числителя. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Приближенные значения корней: $\sqrt{13} \approx 3.6$, поэтому $x_1 \approx -3.3$ и $x_2 \approx 0.3$.

Расположим критические точки на числовой прямой: $x_1$, $0$, $x_2$. Они образуют интервалы $(-\infty; x_1)$, $(x_1; 0)$, $(0; x_2)$, $(x_2; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x^2 + 3x - 1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > x_2$ (например, $x=1$): $\frac{1^2+3 \cdot 1-1}{1} = 3 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < x_2$ (например, $x=0.1$): числитель $0.01+0.3-1 < 0$, знаменатель $>0$. Результат < 0. Знак "-".
• При $x_1 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^2+3(-1)-1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".
• При $x < x_1$ (например, $x=-4$): $\frac{(-4)^2+3(-4)-1}{-4} = \frac{3}{-4} < 0$. Знак "-".

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство "больше нуля".

Ответ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; 0) \cup (\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.