Номер 1038, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1038. На рисунке 93 изображены парабола $y = ax^2 + bx + c$ и параллельные прямые $m$ и $l$, пересекающие параболу в точках $A$ и $B$, $C$ и $D$ соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $CD$, параллельна оси $Oy$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аналитическим методом.

Пусть парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$.

Прямые $m$ и $l$ параллельны, а значит, они имеют одинаковый угловой коэффициент. Обозначим этот коэффициент как $k$. Тогда уравнения этих прямых можно записать в виде:
Уравнение прямой $m$: $y = kx + d_1$
Уравнение прямой $l$: $y = kx + d_2$
где $d_1$ и $d_2$ — некоторые числа, причем $d_1 \neq d_2$, так как прямые различны.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой $m$ с параболой (точки A и B). Для этого решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:
$ax^2 + bx + c = kx + d_1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$ax^2 + (b-k)x + (c-d_1) = 0$
Пусть $x_A$ и $x_B$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек A и B.

Аналогично найдем абсциссы точек пересечения прямой $l$ с параболой (точки C и D):
$ax^2 + bx + c = kx + d_2$
$ax^2 + (b-k)x + (c-d_2) = 0$
Пусть $x_C$ и $x_D$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек C и D.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $N$ — середина отрезка $CD$. Абсцисса середины отрезка равна полусумме абсцисс его концов. Таким образом, абсциссы точек $M$ и $N$ равны:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2}$

Воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ сумма корней равна $-\frac{B}{A}$. Применим эту теорему к нашим двум уравнениям.
Для первого уравнения (пересечение с прямой $m$) сумма корней:
$x_A + x_B = -\frac{b-k}{a}$
Для второго уравнения (пересечение с прямой $l$) сумма корней:
$x_C + x_D = -\frac{b-k}{a}$

Теперь подставим эти суммы в формулы для абсцисс середин отрезков:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{b-k}{a} \right) = -\frac{b-k}{2a}$
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{b-k}{a} \right) = -\frac{b-k}{2a}$

Мы получили, что абсциссы середин отрезков $AB$ и $CD$ равны: $x_M = x_N$. Это означает, что точки $M$ и $N$ лежат на одной прямой, уравнение которой $x = -\frac{b-k}{2a}$.
Прямая, заданная уравнением вида $x = \text{const}$, является вертикальной. Ось $Oy$ также является вертикальной прямой (ее уравнение $x=0$). Следовательно, прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, параллельна оси $Oy$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Абсциссы середин хорд $AB$ и $CD$, высекаемых на параболе параллельными прямыми, равны между собой ($x_M = x_N = -\frac{b-k}{2a}$, где $b$ - коэффициент при $x$ в уравнении параболы, а $k$ - угловой коэффициент прямых). Следовательно, прямая, соединяющая эти середины, является вертикальной и параллельной оси $Oy$.