Номер 1032, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1032. a) $\begin{cases} y \geq -2x + 1, \\ y \geq x - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \leq -x^2 + 4, \\ y \geq x + 2. \end{cases}$

а) Требуется найти и изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$ \begin{cases} y \ge -2x + 1 \\ y \ge x - 2 \end{cases} $

Решением данной системы является пересечение областей, задаваемых каждым из неравенств.

1. Первое неравенство $y \ge -2x + 1$. Границей этой области является прямая $y = -2x + 1$. Построим ее по двум точкам: если $x=0$, то $y=1$ (точка $(0, 1)$), и если $x=1$, то $y=-1$ (точка $(1, -1)$). Поскольку знак неравенства $\ge$, решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство $y \ge x - 2$. Границей этой области является прямая $y = x - 2$. Построим ее по двум точкам: если $x=0$, то $y=-2$ (точка $(0, -2)$), и если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$). Поскольку знак неравенства $\ge$, решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это неограниченная область (угол), расположенная одновременно над обеими прямыми. Найдем вершину этого угла, решив систему уравнений для граничных прямых:

$ \begin{cases} y = -2x + 1 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $-2x + 1 = x - 2$. Отсюда $3x = 3$, то есть $x = 1$. Найдем $y$, подставив $x=1$ в любое уравнение: $y = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, прямые пересекаются в точке $(1, -1)$, которая является вершиной искомой области.

Ответ: Множество точек на координатной плоскости, образующих угол с вершиной в точке $(1, -1)$, ограниченный снизу лучами прямых $y = -2x + 1$ и $y = x - 2$. Границы области включены в решение.

б) Требуется найти и изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$ \begin{cases} y \le -x^2 + 4 \\ y \ge x + 2 \end{cases} $

Решением является пересечение областей, задаваемых параболой и прямой.

1. Первое неравенство $y \le -x^2 + 4$. Границей является парабола $y = -x^2 + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Неравенство $y \le \dots$ задает область под параболой, включая саму параболу.

2. Второе неравенство $y \ge x + 2$. Границей является прямая $y = x + 2$. Она проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$. Неравенство $y \ge \dots$ задает полуплоскость над прямой, включая саму прямую.

3. Решение системы — это пересечение этих двух областей, то есть множество точек, лежащих одновременно под параболой и над прямой. Эта область является ограниченной фигурой. Найдем точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить границы этой фигуры:

$ \begin{cases} y = -x^2 + 4 \\ y = x + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $-x^2 + 4 = x + 2$. Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 + x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

• Если $x = 1$, то $y = 1 + 2 = 3$. Точка пересечения $(1, 3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка пересечения $(-2, 0)$.

Решением системы является фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -x^2 + 4$ и снизу отрезком прямой $y = x + 2$ между точками их пересечения.

Ответ: Множество точек на координатной плоскости, образующих фигуру, ограниченную сверху дугой параболы $y = -x^2 + 4$ и снизу отрезком прямой $y = x + 2$, концы которого находятся в точках $(-2, 0)$ и $(1, 3)$. Границы фигуры включены в множество решений.