Номер 1029, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1029. а) $y = -|x|;$

б) $y = |x - 1|;$

в) $y = |2x + 1|;$

г) $y = x + |x|;$

д) $y = x - |x|;$

е) $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1};$

ж) $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}.$

а) $y = -|x|$

Для построения графика этой функции рассмотрим два случая, исходя из определения модуля числа.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. В этом случае функция принимает вид $y = -x$. Это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, -1)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. В этом случае функция принимает вид $y = -(-x) = x$. Это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -1)$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси $Oy$ и расположен в нижней полуплоскости. Этот график можно получить, отразив график функции $y = |x|$ относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = -x$ при $x \ge 0$ и $y = x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

б) $y = |x - 1|$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид $y = -x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$. Также этот график можно получить, сдвинув график функции $y = |x|$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = x - 1$ при $x \ge 1$ и $y = -x + 1$ при $x < 1$. Вершина графика находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.

в) $y = |2x + 1|$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$, то $|2x + 1| = 2x + 1$. Функция принимает вид $y = 2x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(-1/2, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

2. Если $2x + 1 < 0$, то есть $x < -1/2$, то $|2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1$. Функция принимает вид $y = -2x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(-1/2, 0)$ и проходящий через точку $(-1, 1)$.

График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(-1/2, 0)$. Ветви графика более "крутые", чем у $y = |x|$, из-за коэффициента 2 при $x$.

Ответ: График функции – это объединение двух лучей: $y = 2x + 1$ при $x \ge -1/2$ и $y = -2x - 1$ при $x < -1/2$. Вершина графика находится в точке $(-1/2, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = x + |x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + x = 2x$. Графиком является луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x + (-x) = 0$. Графиком является луч $y = 0$, совпадающий с отрицательной частью оси $Ox$.

Таким образом, график состоит из двух частей: луча на оси $Ox$ для $x < 0$ и луча $y=2x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График функции – это луч $y=0$ при $x < 0$ и луч $y=2x$ при $x \ge 0$.

д) $y = x - |x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x - x = 0$. Графиком является луч $y = 0$, совпадающий с положительной частью оси $Ox$ и началом координат.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x - (-x) = 2x$. Графиком является луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -2)$.

График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0,0)$.

Ответ: График функции – это луч $y=2x$ при $x < 0$ и луч $y=0$ при $x \ge 0$.

е) $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение функции. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$. Получаем $y = x + 1$.

Это означает, что график исходной функции является прямой $y = x + 1$, за исключением одной точки, где функция не определена. Эта точка имеет абсциссу $x=1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=1$ в упрощенное уравнение: $y = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, на графике прямой $y = x + 1$ будет "выколотая" точка с координатами $(1, 2)$.

Ответ: График функции – это прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

ж) $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 1$ раскладывается на множители: $(x - 1)(x + 1)$.

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$

При условии $x \neq -1$ сокращаем дробь на $(x + 1)$ и получаем $y = x - 1$.

Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с "выколотой" точкой при $x = -1$. Найдем ее координаты: $y = -1 - 1 = -2$.

Следовательно, график представляет собой прямую линию с выколотой точкой $(-1, -2)$.

Ответ: График функции – это прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(-1, -2)$.