Номер 1033, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1033. Изобразите все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

$$(|x| - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$$

или системе неравенств

$$\begin{cases} (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 \ge 1, \\ |x| + |y| \le 1. \end{cases}$$

Для того чтобы изобразить все точки, удовлетворяющие заданным условиям, необходимо найти объединение двух множеств на координатной плоскости, так как условия соединены союзом "или". Проанализируем каждое условие по отдельности.

неравенству $(|x| - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$

Проанализируем данное неравенство. Наличие модуля $|x|$ означает, что фигура, описываемая этим неравенством, симметрична относительно оси $Oy$. Рассмотрим два случая:

1. При $x \ge 0$, неравенство принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$. Это уравнение задает замкнутый круг (то есть, круг вместе с его границей) с центром в точке $C_1(1, 1)$ и радиусом $r=1$. Все точки этого круга, включая его самую левую точку $(0, 1)$, удовлетворяют условию $x \ge 0$.
2. При $x < 0$, неравенство принимает вид $(-x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$, что эквивалентно $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$. Это уравнение задает замкнутый круг с центром в точке $C_2(-1, 1)$ и радиусом $r=1$.

Объединяя решения для $x \ge 0$ и $x < 0$, мы получаем фигуру, состоящую из двух кругов, которые касаются друг друга в точке $(0, 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой объединение двух замкнутых кругов: один с центром в $(1, 1)$ и радиусом 1, другой с центром в $(-1, 1)$ и радиусом 1.

системе неравенств $\begin{cases} (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 \ge 1, \\ |x| + |y| \le 1. \end{cases}$

Проанализируем эту систему. Оба неравенства содержат переменные $x$ и $y$ под знаком модуля, что означает симметрию искомой фигуры относительно обеих координатных осей и начала координат. Это позволяет нам рассмотреть систему только в первой координатной четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$) и затем симметрично отразить полученный результат на остальные четверти.

В первой четверти система принимает вид: $\begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 1, \\ x + y \le 1. \end{cases}$

• Первое неравенство, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 1$, задает область на границе и вне круга с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом 1.
• Второе неравенство, $x + y \le 1$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), задает замкнутый треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Искомая область в первой четверти — это пересечение этих двух множеств. Это та часть указанного треугольника, которая лежит на границе или вне круга. Эта область ограничена отрезками осей $Ox$ от 0 до 1 и $Oy$ от 0 до 1, а также дугой окружности $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$, которая соединяет точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Отражая эту область симметрично относительно осей координат, мы получаем итоговую фигуру для данной системы. Она ограничена четырьмя дугами окружностей, которые в соответствующих квадрантах являются частями окружностей:

• $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ в первой четверти,
• $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ во второй четверти,
• $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ в третьей четверти,
• $(x-1)^2+(y+1)^2=1$ в четвертой четверти.

Эта фигура представляет собой четырехконечную звезду с вогнутыми сторонами и вершинами в точках $(\pm 1, 0)$ и $(0, \pm 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данной системе, представляет собой замкнутую область, похожую на четырехконечную звезду, с центром в начале координат, вершинами в точках $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ и границей, образованной дугами четырех окружностей.

Итоговое изображение

Поскольку исходные условия соединены союзом "или", искомое множество точек является объединением множеств, найденных в двух предыдущих пунктах. Объединяя два круга с центрами в $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ и "звезду" с центром в начале координат, мы получаем единую связную фигуру. Точки $(1, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ являются общими для границ обеих фигур и служат точками их соединения. Визуально эта фигура напоминает стилизованное изображение человека.

Ответ: Искомое множество точек на координатной плоскости представляет собой фигуру, образованную объединением:
1) двух замкнутых кругов радиуса 1 с центрами в точках $(1, 1)$ и $(-1, 1)$;
2) четырехконечной звездообразной фигуры с центром в начале координат, вершинами в точках $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ и границами, являющимися дугами окружностей, заданных уравнением $(|x|-1)^2 + (|y|-1)^2 = 1$ в соответствующих квадрантах.