Номер 1031, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1031. а) $x < -3;$

б) $y > -1;$

в) $x < -3$ и $y > -1;$

г) $x < -3$ или $y > -1;$

д) $x > -3$ или $y < -1;$

е) $\begin{cases} |x| < 3, \\ |y| < 3; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} |x| > 3, \\ |y| > 3; \end{cases}$

з) $x^2 + y^2 < 9;$

и) $x^2 + y^2 > 4;$

к) $\begin{cases} x^2 + y^2 < 9, \\ x^2 + y^2 > 4; \end{cases}$

л) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 > 4.$

а) Неравенство $x < -3$ задает на координатной плоскости множество точек, абсцисса $x$ которых меньше -3. Границей этой области является прямая $x = -3$, которая параллельна оси ординат и проходит через точку $(-3, 0)$. Решением неравенства является открытая полуплоскость, расположенная слева от этой прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая в решение не входит.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = -3$.

б) Неравенство $y > -1$ задает на координатной плоскости множество точек, ордината $y$ которых больше -1. Границей области является прямая $y = -1$, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -1)$. Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше этой прямой. Сама прямая в решение не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -1$.

в) Условие "$x < -3$ и $y > -1$" означает, что должны выполняться оба неравенства одновременно. Это соответствует пересечению двух областей: полуплоскости слева от прямой $x = -3$ и полуплоскости выше прямой $y = -1$. Результатом является открытый угол (или открытая четверть плоскости), ограниченный лучами, исходящими из точки $(-3, -1)$ параллельно осям координат в отрицательном направлении оси $x$ и положительном направлении оси $y$. Границы области (лучи) не включаются в решение.

Ответ: пересечение двух открытых полуплоскостей $x < -3$ и $y > -1$, представляющее собой открытый угол с вершиной в точке $(-3, -1)$.

г) Условие "$x < -3$ или $y > -1$" означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Это соответствует объединению двух областей: полуплоскости слева от прямой $x = -3$ и полуплоскости выше прямой $y = -1$. Эта область покрывает всю координатную плоскость, за исключением замкнутого угла (четверти плоскости), где одновременно выполняются условия $x \ge -3$ и $y \le -1$.

Ответ: объединение двух открытых полуплоскостей $x < -3$ и $y > -1$.

д) Условие "$x > -3$ или $y < -1$" соответствует объединению двух областей: полуплоскости справа от прямой $x = -3$ и полуплоскости ниже прямой $y = -1$. Эта область покрывает всю координатную плоскость, за исключением замкнутого угла (четверти плоскости), где одновременно выполняются условия $x \le -3$ и $y \ge -1$.

Ответ: объединение двух открытых полуплоскостей $x > -3$ и $y < -1$.

е) Система неравенств $\begin{cases} |x| < 3 \\ |y| < 3 \end{cases}$ равносильна системе $\begin{cases} -3 < x < 3 \\ -3 < y < 3 \end{cases}$. Первое неравенство задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x = -3$ и $x = 3$. Второе неравенство задает открытую горизонтальную полосу между прямыми $y = -3$ и $y = 3$. Решением системы является пересечение этих двух полос — открытый квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(3, 3), (-3, 3), (-3, -3), (3, -3)$. Границы квадрата не включаются в решение.

Ответ: внутренность квадрата с вершинами в точках $(3, 3), (-3, 3), (-3, -3), (3, -3)$.

ж) Система неравенств $\begin{cases} |x| > 3 \\ |y| > 3 \end{cases}$ равносильна системе, состоящей из объединений: $\begin{cases} x < -3 \text{ или } x > 3 \\ y < -3 \text{ или } y > 3 \end{cases}$. Решением является пересечение двух областей: области вне вертикальной полосы $|x| \le 3$ и области вне горизонтальной полосы $|y| \le 3$. Это множество состоит из четырех открытых углов (четвертей плоскости), не имеющих общих границ: $x > 3, y > 3$; $x < -3, y > 3$; $x < -3, y < -3$; $x > 3, y < -3$.

Ответ: объединение четырех открытых углов, заданных условиями $x > 3, y > 3$; $x < -3, y > 3$; $x < -3, y < -3$; $x > 3, y < -3$.

з) Неравенство $x^2 + y^2 < 9$ описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до начала координат $(0, 0)$ меньше 9. Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ (или $x^2 + y^2 = 3^2$) задает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Неравенство задает все точки внутри этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в решение.

Ответ: открытый круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

и) Неравенство $x^2 + y^2 > 4$ описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до начала координат $(0, 0)$ больше 4. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ (или $x^2 + y^2 = 2^2$) задает окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Неравенство задает все точки вне этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в решение.

Ответ: множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 2 (внешность круга).

к) Система $\begin{cases} x^2 + y^2 < 9 \\ x^2 + y^2 > 4 \end{cases}$ задает пересечение двух областей: внутренней части круга радиуса 3 и внешней части круга радиуса 2. Обе окружности, ограничивающие эти области, имеют центр в начале координат. Решением является множество точек, расположенных между этими двумя концентрическими окружностями. Такая фигура называется кольцом. Поскольку оба неравенства строгие, границы (обе окружности) не включаются в решение.

Ответ: открытое кольцо, ограниченное окружностями $x^2+y^2=4$ и $x^2+y^2=9$.

л) Неравенство $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 > 4$ можно переписать в виде $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 > 2^2$. Это неравенство описывает множество точек, квадрат расстояния от которых до точки $(-1, -2)$ больше 4. Уравнение $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ задает окружность с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом 2. Неравенство задает все точки вне этой окружности. Сама окружность в решение не входит.

Ответ: множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом 2 (внешность круга).