Номер 1036, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1036. а) $y = \sqrt{x+1}$;

в) $y = \sqrt{x+\sqrt{x-1}};$

б) $y = \sqrt{3-2x};$

г) $y = \sqrt{3+4x}+\sqrt{7x-5}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x+1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x+1 \geq 0$

$x \geq -1$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные $-1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{3-2x}$, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$3-2x \geq 0$

$-2x \geq -3$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-2$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{3}{2}$

$x \leq 1.5$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, меньшие или равные $1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

в) Функция $y = \sqrt{x} + \sqrt{x-1}$ является суммой двух корней. Она определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$

Теперь необходимо найти пересечение решений $x \geq 0$ и $x \geq 1$. Поскольку любое число, которое больше или равно $1$, автоматически больше или равно $0$, решением системы будет более сильное неравенство $x \geq 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt{3+4x} + \sqrt{7x-5}$, как и в предыдущем случае, оба выражения под корнями должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3+4x \geq 0 \\ 7x-5 \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$3+4x \geq 0$

$4x \geq -3$

$x \geq -\frac{3}{4}$

Второе неравенство:

$7x-5 \geq 0$

$7x \geq 5$

$x \geq \frac{5}{7}$

Областью определения функции является пересечение решений этих двух неравенств: $x \geq -\frac{3}{4}$ и $x \geq \frac{5}{7}$. Так как $\frac{5}{7}$ (положительное число) больше, чем $-\frac{3}{4}$ (отрицательное число), то пересечением будет промежуток $x \geq \frac{5}{7}$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{7}; +\infty)$.