Номер 1022, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1022. Постройте график функции $y = 3x - 1$. Замените $x$ на $y$, а $y$ на $x$ и постройте график полученной функции в той же системе координат.

Построение графика функции $y=3x-1$

Данная функция является линейной, так как представляет собой уравнение вида $y=kx+b$. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Составим таблицу значений для двух точек:
1. Примем $x=0$. Тогда значение $y$ будет: $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку A с координатами $(0; -1)$.
2. Примем $x=1$. Тогда значение $y$ будет: $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Получаем точку B с координатами $(1; 2)$.

Теперь на координатной плоскости нужно отметить точки A(0; -1) и B(1; 2) и провести через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y=3x-1$.

Ответ: График функции $y=3x-1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(1; 2)$.

Замена переменных и построение графика полученной функции

В исходном уравнении $y=3x-1$ выполним замену переменных, как указано в задании: заменим $x$ на $y$, а $y$ на $x$.
Получаем новое уравнение: $x = 3y - 1$.

Это также уравнение линейной функции. Чтобы построить ее график, принято выражать $y$ через $x$:
$3y = x + 1$
$y = \frac{x+1}{3}$
Запишем в стандартном виде: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

Для построения графика этой функции также найдем координаты двух точек:
1. Примем $x=-1$. Тогда $y = \frac{-1+1}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Получаем точку C с координатами $(-1; 0)$.
2. Примем $x=2$. Тогда $y = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку D с координатами $(2; 1)$.

На той же координатной плоскости, где уже построен первый график, отмечаем точки C(-1; 0) и D(2; 1) и проводим через них вторую прямую.

Примечание: полученные функции $y=3x-1$ и $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Обратите внимание, что координаты точек для второго графика (C и D) можно было получить, просто поменяв местами координаты точек первого графика (A и B): A(0; -1) $\rightarrow$ C(-1; 0) и B(1; 2) $\rightarrow$ D(2; 1).

Ответ: После замены переменных получается функция $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Её график — это прямая, проходящая через точки $(-1; 0)$ и $(2; 1)$. В одной системе координат необходимо построить две прямые, которые симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.