Номер 1023, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1023. Постройте график функции $y = 3x^2 + 1$. Найдите с помощью графика:

а) $y(1)$;

б) $y(-2)$;

в) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 1$;

г) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 2$.

Для построения графика функции $y = 3x^2 + 1$ определим её ключевые характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 3), ветви параболы направлены вверх. График можно получить из графика основной параболы $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза и последующего смещения на 1 единицу вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$. Ордината вершины: $y(0) = 3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

а) y(1)

Чтобы найти значение функции при $x=1$ с помощью графика, находим на оси абсцисс ($Ox$) точку $x=1$. Восстанавливаем перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком (синяя пунктирная линия). Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат ($Oy$). Эта линия указывает на значение $y=4$.
Проверка вычислением: $y(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

б) y(-2)

Находим на оси $Ox$ точку $x=-2$. Восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком (зеленая пунктирная линия). Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси $Oy$ и находим значение $y=13$.
Проверка вычислением: $y(-2) = 3 \cdot (-2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

Ответ: $13$

в) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 1$

Чтобы найти значение аргумента $x_0$, при котором значение функции равно 1, находим на оси $Oy$ точку $y=1$. Проводим через нее горизонтальную линию (красная пунктирная линия) до пересечения с графиком. Эта линия касается параболы в одной точке — её вершине. Абсцисса этой точки равна $0$.
Проверка вычислением: $1 = 3x_0^2 + 1 \Rightarrow 3x_0^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

Ответ: $x_0=0$

г) $x_0$, такое, что $y(x_0) = 2$

Находим на оси $Oy$ точку $y=2$ и проводим через нее горизонтальную линию (фиолетовая пунктирная линия). Эта линия пересекает параболу в двух точках. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось $Ox$, мы найдем два искомых значения $x_0$. Из графика видно, что эти значения симметричны относительно нуля и приблизительно равны $\pm 0.6$.
Для нахождения точных значений решим уравнение: $2 = 3x_0^2 + 1 \Rightarrow 3x_0^2 = 1 \Rightarrow x_0^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $x_0 = -\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $x_0 = \sqrt{\frac{1}{3}}$