Номер 1012, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1012. а) $\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8(x - y), \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1. \end{cases}$

Это симметрическая система. Удобно выполнить сложение и вычитание уравнений.

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

В результате мы получили новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (сумма корней равна 6, произведение равно 5) или через дискриминант находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 6 - x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$. Получаем решение (1; 5).

2. Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$. Получаем решение (5; 1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (1; 5), (5; 1).

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 8(x - y), \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 8(x - y)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 8(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x - y = 0 \implies x = y$.

Подставим это равенство во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$x^2 + x^2 = 8$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

Так как $x = y$, получаем две пары решений: (2; 2) и (-2; -2).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$x^2 + xy + y^2 - 8 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 8$.

Теперь у нас есть новая система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 8, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy + y^2) - (x^2 + y^2) = 8 - 8$

$xy = 0$

Это уравнение выполняется, если $x = 0$ или $y = 0$. Рассмотрим эти два подслучая.

- Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$0^2 + y^2 = 8 \implies y^2 = 8 \implies y = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам две пары решений: $(0; 2\sqrt{2})$ и $(0; -2\sqrt{2})$.

- Если $y = 0$, подставим это значение во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$x^2 + 0^2 = 8 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам еще две пары решений: $(2\sqrt{2}; 0)$ и $(-2\sqrt{2}; 0)$.

Объединяя все решения, полученные в обоих случаях, получаем шесть пар чисел.

Ответ: (2; 2), (-2; -2), $(2\sqrt{2}; 0)$, $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 2\sqrt{2})$, $(0; -2\sqrt{2})$.