Номер 1013, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1013. a) $\begin{cases}x+y+xy=7, \\x^2+y^2+xy=13;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2+xy+y^2=4, \\x+xy+y=2.\end{cases}$

а)

Данная система уравнений является симметрической, так как она не меняется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных, основанную на элементарных симметрических многочленах:

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Выразим каждое уравнение системы через $u$ и $v$.

Первое уравнение: $x + y + xy = 7$ преобразуется в $u + v = 7$.

Для второго уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Тогда второе уравнение $x^2 + y^2 + xy = 13$ преобразуется в $(u^2 - 2v) + v = 13$, что упрощается до $u^2 - v = 13$.

Теперь мы имеем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 7 \\ u^2 - v = 13 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 7 - u$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - (7 - u) = 13$

$u^2 + u - 7 - 13 = 0$

$u^2 + u - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, его корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 4$, то $v = 7 - u = 7 - 4 = 3$.

В этом случае, возвращаясь к исходным переменным, получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 3$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

2. Если $u = -5$, то $v = 7 - u = 7 - (-5) = 12$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x + y = -5 \\ xy = 12 \end{cases}$

Соответствующее квадратное уравнение: $t^2 - (-5)t + 12 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 12 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, а значит, и система в этом случае не имеет действительных решений.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Эта система также является симметрической. Применим ту же замену переменных:

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем уравнения системы в новых переменных.

Второе уравнение: $x + y + xy = 2$ преобразуется в $u + v = 2$.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 + xy = 4$. Используя $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$, получаем $(u^2 - 2v) + v = 4$, что упрощается до $u^2 - v = 4$.

Получаем новую систему относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 2 \\ u^2 - v = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $v = 2 - u$ и подставляем во второе:

$u^2 - (2 - u) = 4$

$u^2 + u - 2 - 4 = 0$

$u^2 + u - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $u_1 = 2$ и $u_2 = -3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 2$, то $v = 2 - u = 2 - 2 = 0$.

Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Если $x = 0$, то из первого уравнения $y = 2$. Получаем решение $(0, 2)$.

Если $y = 0$, то из первого уравнения $x = 2$. Получаем решение $(2, 0)$.

2. Если $u = -3$, то $v = 2 - u = 2 - (-3) = 5$.

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 5 \end{cases}$

Соответствующее квадратное уравнение: $t^2 - (-3)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 3t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку $D < 0$, действительных корней нет, и в этом случае система не имеет решений.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.