Номер 1006, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1006. Решите уравнение:

а) $\sqrt{3x+1} = \sqrt{4x+1}$;

б) $\sqrt{2x+1} = 3x+1$;

в) $\sqrt{\frac{x+2}{2}} = x+1$;

г) $\sqrt{\frac{x+1}{3}} = x-1$;

д) $x-5\sqrt{x}-6 = 0$;

е) $x-6\sqrt{x}-7 = 0$.

а) $\sqrt{3x+1} = \sqrt{4x+1}$

Чтобы решить данное уравнение, необходимо, чтобы подкоренные выражения были равны и неотрицательны. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (или $g(x) \ge 0$)

Применим это к нашему уравнению:

$\begin{cases} 3x+1 = 4x+1 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$3x+1 = 4x+1$

$3x - 4x = 1 - 1$

$-x = 0$

$x = 0$

Теперь подставим найденное значение $x$ в неравенство (проверим область допустимых значений):

$3 \cdot 0 + 1 \ge 0$

$1 \ge 0$

Неравенство верное, значит, корень $x=0$ подходит.

Ответ: $0$.

б) $\sqrt{2x+1} = 3x+1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Применим это к нашему уравнению:

$\begin{cases} 2x+1 = (3x+1)^2 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases}$

Решим сначала неравенство, чтобы определить область допустимых значений для $x$:

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$

Теперь решим уравнение:

$2x+1 = (3x+1)^2$

$2x+1 = 9x^2 + 6x + 1$

$9x^2 + 6x - 2x + 1 - 1 = 0$

$9x^2 + 4x = 0$

$x(9x+4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $9x+4 = 0 \implies x_2 = -4/9$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -1/3$:

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -1/3$. Это верно, значит $x=0$ является решением.

Для $x_2 = -4/9$: $-4/9 \approx -0.44$, а $-1/3 \approx -0.33$. Так как $-4/9 < -1/3$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним.

Ответ: $0$.

в) $\sqrt{\frac{x+2}{2}} = x+1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+2}{2} = (x+1)^2 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Из неравенства $x+1 \ge 0$ следует, что $x \ge -1$.

Решим уравнение:

$\frac{x+2}{2} = x^2 + 2x + 1$

$x+2 = 2(x^2 + 2x + 1)$

$x+2 = 2x^2 + 4x + 2$

$2x^2 + 4x - x + 2 - 2 = 0$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $2x+3 = 0 \implies x_2 = -3/2$.

Проверим корни по условию $x \ge -1$:

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -1$. Верно.

Для $x_2 = -3/2 = -1.5$: $-1.5 \ge -1$. Неверно. Это посторонний корень.

Ответ: $0$.

г) $\sqrt{\frac{x+1}{3}} = x-1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+1}{3} = (x-1)^2 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Из неравенства $x-1 \ge 0$ следует, что $x \ge 1$.

Решим уравнение:

$\frac{x+1}{3} = x^2 - 2x + 1$

$x+1 = 3(x^2 - 2x + 1)$

$x+1 = 3x^2 - 6x + 3$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = 1/3$

Проверим корни по условию $x \ge 1$:

Для $x_1 = 2$: $2 \ge 1$. Верно.

Для $x_2 = 1/3$: $1/3 \ge 1$. Неверно. Это посторонний корень.

Ответ: $2$.

д) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному, сделав замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

$t_1 = 6$ подходит.

$t_2 = -1$ не подходит, так как $-1 < 0$.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$\sqrt{x} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 36$

Найденный корень $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$).

Ответ: $36$.

е) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

$t_1 = 7$ подходит.

$t_2 = -1$ не подходит.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 49$

Найденный корень $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 \ge 0$).

Ответ: $49$.