Номер 1008, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1008. a) $\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x + y^2 = 13. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y = 4, \\ x + y = 2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (2 - x) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - x + 2 - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$\sqrt{D} = 3$

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2 - x$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 2 = 0$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(2, 0)$ и $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, 0), (-1, 3)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x + y^2 = 13 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 5 - y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$(5 - y) + y^2 = 13$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду и решим его относительно $y$:
$y^2 - y + 5 - 13 = 0$
$y^2 - y - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$

Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$
$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 5 - y$.
Если $y_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$, то $x_1 = 5 - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - (1 + \sqrt{33})}{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.
Если $y_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$, то $x_2 = 5 - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - (1 - \sqrt{33})}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$.

Таким образом, система имеет два решения: $(\frac{9 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$ и $(\frac{9 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$.

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2}), (\frac{9 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$.