Номер 1005, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1005. а) $x^{\frac{1}{3}} = 2$;

б) $x^{\frac{2}{3}} = 3$;

в) $x^{\frac{1}{5}} = -1;$

г) $x^{-\frac{1}{3}} = 2;$

д) $x^{-\frac{2}{3}} = 1;$

е) $x^{\frac{3}{5}} = -2.$

а) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{3}} = 2$, необходимо возвести обе его части в степень $3$, чтобы избавиться от дробного показателя у переменной $x$.
$(x^{\frac{1}{3}})^3 = 2^3$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 8$
$x^1 = 8$
$x = 8$.
Ответ: $8$.

б) В уравнении $x^{\frac{2}{3}} = 3$ показатель степени имеет нечетный знаменатель $3$, поэтому основание $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. Представим уравнение в виде $(\sqrt[3]{x})^2 = 3$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\sqrt[3]{x} = \sqrt{3}$ или $\sqrt[3]{x} = -\sqrt{3}$.
Теперь возведем в куб обе части каждого из полученных уравнений:
1) $(\sqrt[3]{x})^3 = (\sqrt{3})^3 \implies x = 3\sqrt{3}$.
2) $(\sqrt[3]{x})^3 = (-\sqrt{3})^3 \implies x = -3\sqrt{3}$.
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: $\pm 3\sqrt{3}$.

в) Дано уравнение $x^{\frac{1}{5}} = -1$. Это то же самое, что и $\sqrt[5]{x} = -1$.
Показатель степени $\frac{1}{5}$ имеет нечетный знаменатель, поэтому основание $x$ может быть отрицательным.
Возведем обе части уравнения в степень $5$:
$(x^{\frac{1}{5}})^5 = (-1)^5$
$x = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Дано уравнение $x^{-\frac{1}{3}} = 2$.
По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Поэтому уравнение можно переписать так:
$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$
Отсюда $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Теперь возведем обе части в куб:
$(x^{\frac{1}{3}})^3 = (\frac{1}{2})^3$
$x = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

д) В уравнении $x^{-\frac{2}{3}} = 1$ показатель степени отрицательный, поэтому $x \neq 0$. Перепишем уравнение:
$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 1$, что равносильно $x^{\frac{2}{3}} = 1$.
Как и в пункте б), знаменатель показателя нечетный. Запишем уравнение в виде $(\sqrt[3]{x})^2 = 1$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$\sqrt[3]{x} = 1$ или $\sqrt[3]{x} = -1$.
Возводя в куб каждое уравнение:
1) $x = 1^3 = 1$.
2) $x = (-1)^3 = -1$.
Оба решения удовлетворяют условию $x \neq 0$.
Ответ: $\pm 1$.

е) Дано уравнение $x^{\frac{3}{5}} = -2$.
Поскольку знаменатель показателя $5$ является нечетным числом, основание степени $x$ может быть отрицательным. Запишем уравнение в виде $(\sqrt[5]{x})^3 = -2$.
Чтобы найти $\sqrt[5]{x}$, извлечем кубический корень из обеих частей:
$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.
Теперь возведем обе части в степень $5$:
$x = (-\sqrt[3]{2})^5 = -((\sqrt[3]{2})^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^2) = -(2 \cdot \sqrt[3]{2^2}) = -2\sqrt[3]{4}$.
Ответ: $-2\sqrt[3]{4}$.