Номер 984, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

984. Какими числами должны быть $p$ и $q$, чтобы корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ были равны $p$ и $q$?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию задачи, его корнями являются сами числа $p$ и $q$. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Таким образом, мы имеем $x_1 = p$ и $x_2 = q$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + px + q = 0$, коэффициенты равны $b=p$ и $c=q$. Подставим в формулы Виета значения корней $x_1 = p$ и $x_2 = q$. В результате получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$:

$ \begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = q \end{cases} $

Теперь решим полученную систему. Начнем со второго уравнения:

$p \cdot q = q$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$p \cdot q - q = 0$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$q(p - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая.

1. Если $q = 0$. Подставим это значение в первое уравнение системы ($p + q = -p$):

$p + 0 = -p$
$2p = 0$
$p = 0$

Таким образом, мы получили первую пару чисел: $p = 0$ и $q = 0$.

2. Если $p - 1 = 0$, то $p = 1$. Подставим это значение в первое уравнение системы ($p + q = -p$):

$1 + q = -1$
$q = -1 - 1$
$q = -2$

Таким образом, мы получили вторую пару чисел: $p = 1$ и $q = -2$.

Мы нашли две возможные пары значений для $p$ и $q$. Необходимо выполнить проверку.

• При $p = 0, q = 0$ уравнение имеет вид $x^2 + 0x + 0 = 0$, или $x^2 = 0$. Его корни $x_1 = 0, x_2 = 0$. Эти значения совпадают с найденными $p=0$ и $q=0$.
• При $p = 1, q = -2$ уравнение имеет вид $x^2 + x - 2 = 0$. Его корни можно найти, например, разложив на множители: $(x+2)(x-1)=0$. Корни уравнения $x_1 = -2, x_2 = 1$. Эти значения совпадают с найденными $p=1$ и $q=-2$.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $p=0, q=0$ или $p=1, q=-2$.